Calcule o quociente das energias de coesão de uma rede cúbica de corpo centrado ( E_{c c c} ) e cúbica de faces centradas ( E_{c f c} ). Utilize os valores das somas para a rede ccc:
\sum_{j(\neq i)}\left(\frac{1}{p_{i j}}\right)^{12}=9,114 \quad \sum_{j \neq i)}\left(\frac{1}{p_{i j}}\right)^{6}=12,25
e para uma rede cfc:
\sum_{j(\neq i)}\left(\frac{1}{p_{i j}}\right)^{12}=12,13188 \quad \sum_{j(\neq i)}\left(\frac{1}{p_{i j}}\right)^{6}=14,45392

Passo 1

O enunciado pede o quociente
\frac{E_{ccc}}{E_{cfc}}
das energias de coesão de duas redes cristalinas (ccc e cfc), usando potenciais de Lennard‐Jones idênticos em ambas. Vamos precisar da expressão da energia de coesão por átomo no modelo de Lennard‐Jones e das somas fornecidas para cada rede.

Passo 2

No modelo de Lennard‐Jones, o potencial par a par é
V(r_{ij}) \;=\; 4\varepsilon\Bigl[\bigl(\tfrac{\sigma}{r_{ij}}\bigr)^{12}-\bigl(\tfrac{\sigma}{r_{ij}}\bigr)^{6}\Bigr].
A energia de coesão por átomo é metade da soma sobre todos os pares (para não contar cada par duas vezes):
E \;=\;\frac12\sum_{j\neq i}V(r_{ij}) \;=\;2\varepsilon\Bigl[\sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{\sigma}{r_{ij}}\bigr)^{12} -\sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{\sigma}{r_{ij}}\bigr)^{6}\Bigr].

Passo 3

Para comparar ccc e cfc, note que \varepsilon e \sigma são os mesmos e aparecem como fator comum, que se cancela no quociente. Assim
\frac{E_{ccc}}{E_{cfc}} =\frac{\displaystyle\sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{\sigma}{r_{ij}}\bigr)^{12}_{ccc} -\sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{\sigma}{r_{ij}}\bigr)^{6}_{ccc}} {\displaystyle\sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{\sigma}{r_{ij}}\bigr)^{12}_{cfc} -\sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{\sigma}{r_{ij}}\bigr)^{6}_{cfc}}.

Passo 4

Agora substituímos as somas numéricas:
\sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{1}{p_{ij}}\bigr)^{12}_{ccc}=9,114, \quad \sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{1}{p_{ij}}\bigr)^{6}_{ccc}=12,25,
\sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{1}{p_{ij}}\bigr)^{12}_{cfc}=12,13188, \quad \sum_{j\neq i}\bigl(\tfrac{1}{p_{ij}}\bigr)^{6}_{cfc}=14,45392.
Portanto
E_{ccc}\propto 9{,}114-12{,}25=-3{,}136, \quad E_{cfc}\propto 12{,}13188-14{,}45392=-2{,}32204.

Passo 5

O quociente fica
\frac{E_{ccc}}{E_{cfc}} =\frac{-3{,}136}{-2{,}32204} \approx1{,}35.

Resposta

\frac{E_{ccc}}{E_{cfc}}\approx1{,}35.

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