- Calcule o quociente e o resto da divisão de
por
nos casos abaixo:
c)
e
Passo 1
O enunciado pede: calcular o quociente e o resto da divisão de
por
para os dados abaixo.
Dados fornecidos:
-
. -
.
O que é pedido:
- O quociente da divisão de
por . - O resto dessa divisão.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Quando dividimos um polinômio por um polinômio linear da forma
, há duas ferramentas muito práticas:
Quando dividimos um polinômio
-
Teorema do resto: o resto da divisão de
por é simplesmente .
Por quê? Porque pela divisão de polinômios existe um polinômio quocientee um resto constante tal que Se substituirmosnessa igualdade, o termo zera e resta . Assim, . -
Divisão sintética (Ruffini): método rápido para obter o quociente quando dividimos por
. Ele usa apenas os coeficientes de e o número . É um procedimento algorítmico simples que também nos dá o resto como último número.
Vou usar ambos: primeiro aplico o teorema do resto para verificar o resto, depois faço a divisão sintética para obter o quociente (com todos os passos explicados).
Passo 3
Aplicando o teorema do resto para obter o resto diretamente:
Como , temos
. Calculo
:
Como
Calculemos termo a termo:
Somando:
Agora a soma passo a passo:
Portanto
Pelo teorema do resto, o resto da divisão é
. Isso significa que
é um fator de
e a divisão é exata (sem resto).
Passo 4
Agora vou fazer a divisão sintética (Ruffini) para obter o quociente, mostrando cada etapa:
Passos da divisão sintética:
Passos da divisão sintética:
- Pegamos os coeficientes de
em ordem decrescente de grau: (de ), (de ), (de ), (termo independente). - Escrevemos à esquerda o número
(visto que dividimos por ).
Procedimento (vou escrever as operações na ordem que se faz na divisão sintética):
Coeficientes iniciais:
.
- Trago para baixo o primeiro coeficiente:
. Esse será o coeficiente líder do quociente. - Multiplico
por : . Somo esse resultado ao próximo coeficiente : . - Multiplico
por : . Somo ao próximo coeficiente : . - Multiplico
por : . Somo ao próximo coeficiente : .
Os números obtidos (exceto o último que é o resto) são os coeficientes do quociente. Organizadamente:
- Primeiro coeficiente do quociente:
. - Segundo coeficiente do quociente:
. - Terceiro coeficiente do quociente:
. - Resto:
(conferindo o que obtivemos com o teorema do resto).
Passo 5
Construindo o quociente a partir dos coeficientes encontrados:
Os coeficientes correspondem ao polinômio de grau
Os coeficientes
ou seja
Podemos ainda notar que esse quociente se fatoriza (apenas como observação útil para prova):
logo
Passo 6
Resumo final e dica prática para a prova:
- Resto
significa divisão exata; sempre verifique antes de fazer contas longas. - A divisão sintética é rápida: traga o primeiro coeficiente, multiplique pelo
, some, repita; o último número é o resto e os anteriores formam o quociente.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: