1. Calcule o quociente e o resto da divisão de \mathrm{P}(\mathrm{x}) por \mathrm{Q}(\mathrm{x}) nos casos abaixo:
c) P(x)=x^{3}-7 x^{2}+16 x-12 e Q(x)=x-3

Passo 1

O enunciado pede: calcular o quociente e o resto da divisão de P(x) por Q(x) para os dados abaixo.
Dados fornecidos:
  • P(x)=x^{3}-7x^{2}+16x-12.
  • Q(x)=x-3.
O que é pedido:
  • O quociente da divisão de P(x) por Q(x).
  • O resto dessa divisão.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
Quando dividimos um polinômio P(x) por um polinômio linear da forma x-a, há duas ferramentas muito práticas:
  1. Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por x-a é simplesmente P(a).
    Por quê? Porque pela divisão de polinômios existe um polinômio quociente S(x) e um resto r constante tal que
    P(x)= (x-a)\,S(x)+r.
    Se substituirmos x=a nessa igualdade, o termo (x-a)S(x) zera e resta P(a)=r. Assim, r=P(a).
  2. Divisão sintética (Ruffini): método rápido para obter o quociente quando dividimos por x-a. Ele usa apenas os coeficientes de P(x) e o número a. É um procedimento algorítmico simples que também nos dá o resto como último número.
Vou usar ambos: primeiro aplico o teorema do resto para verificar o resto, depois faço a divisão sintética para obter o quociente (com todos os passos explicados).

Passo 3

Aplicando o teorema do resto para obter o resto diretamente:
Como Q(x)=x-3, temos a=3. Calculo P(3):
P(3)=3^{3}-7\cdot3^{2}+16\cdot3-12.
Calculemos termo a termo:
3^{3}=27,\qquad -7\cdot3^{2}=-7\cdot9=-63,\qquad 16\cdot3=48.
Somando:
P(3)=27-63+48-12.
Agora a soma passo a passo:
27-63=-36,
-36+48=12,
12-12=0.
Portanto
P(3)=0.
Pelo teorema do resto, o resto da divisão é 0. Isso significa que x-3 é um fator de P(x) e a divisão é exata (sem resto).

Passo 4

Agora vou fazer a divisão sintética (Ruffini) para obter o quociente, mostrando cada etapa:
Passos da divisão sintética:
  • Pegamos os coeficientes de P(x) em ordem decrescente de grau: 1 (de x^{3}), -7 (de x^{2}), 16 (de x), -12 (termo independente).
  • Escrevemos à esquerda o número a=3 (visto que dividimos por x-3).
    Procedimento (vou escrever as operações na ordem que se faz na divisão sintética):
Coeficientes iniciais: 1,\\\ -7,\\\ 16,\\\ -12.
  1. Trago para baixo o primeiro coeficiente: 1. Esse será o coeficiente líder do quociente.
  2. Multiplico 1 por 3: 1\cdot3=3. Somo esse resultado ao próximo coeficiente -7: -7+3=-4.
  3. Multiplico -4 por 3: -4\cdot3=-12. Somo ao próximo coeficiente 16: 16+(-12)=4.
  4. Multiplico 4 por 3: 4\cdot3=12. Somo ao próximo coeficiente -12: -12+12=0.
Os números obtidos (exceto o último que é o resto) são os coeficientes do quociente. Organizadamente:
  • Primeiro coeficiente do quociente: 1.
  • Segundo coeficiente do quociente: -4.
  • Terceiro coeficiente do quociente: 4.
  • Resto: 0 (conferindo o que obtivemos com o teorema do resto).

Passo 5

Construindo o quociente a partir dos coeficientes encontrados:
Os coeficientes 1,\\\ -4,\\\ 4 correspondem ao polinômio de grau 2
\text{Quociente}(x)=1\cdot x^{2}+(-4)\cdot x+4,
ou seja
\text{Quociente}(x)=x^{2}-4x+4.
Podemos ainda notar que esse quociente se fatoriza (apenas como observação útil para prova):
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},
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P(x)=(x-3)(x^{2}-4x+4)=(x-3)(x-2)^{2}.

Passo 6

Resumo final e dica prática para a prova:
  • Resto 0 significa divisão exata; sempre verifique P(a) antes de fazer contas longas.
  • A divisão sintética é rápida: traga o primeiro coeficiente, multiplique pelo a, some, repita; o último número é o resto e os anteriores formam o quociente.

Resposta

Quociente: x^{2}-4x+4
Resto: 0

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