- Calcule o quociente e o resto da divisão de
por
nos casos abaixo:
b)
e
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pedido: calcular o quociente e o resto da divisão de
por . - Dados:
-
. -
.
-
O objetivo é encontrar polinômios
(quociente) e
(resto) tais que
com
. Aqui
, logo o resto deve ter grau menor que
(ou seja, ser no máximo de grau
: uma expressão da forma
).
Passo 2
Explicação do método escolhido e por que ele funciona (aula rápida).
- Metodo: divisão polinomial (divisão “em coluna”, ou algoritmo da divisão).
- Por que funciona: ao dividir
por procuramos um que reduz o grau do polinômio restante passo a passo. Em cada etapa dividimos o termo de maior grau do resto atual pelo termo de maior grau de para obter o próximo termo do quociente; multiplicamos por esse termo e subtraímos para obter um novo resto de grau menor ou igual ao anterior. Repetimos até que o grau do resto seja menor que o grau de . - Notação: chamaremos a cada etapa de “resto atual” o polinômio que sobra depois das subtrações.
Agora vamos aplicar isso passo a passo ao caso concreto.
Passo 3
Primeira etapa da divisão: comparar os termos líderes.
- Termo líder de
: . - Termo líder de
: . - Dividindo os líderes:
. Esse é o primeiro termo do quociente.
Multiplicamos
por esse termo e subtraímos de
:
Agora subtrai-se esse produto de
. Escrevendo a operação:
Fazendo as contas termo a termo:
-
. -
. -
. - constante
.
Logo o resto após a primeira etapa é
Passo 4
Segunda etapa da divisão: dividir o novo termo líder pelo líder de
.
- Termo líder do resto atual:
. - Termo líder de
: . - Dividindo:
. Esse é o próximo termo do quociente.
Multiplicamos
por
e subtraímos do resto atual:
Agora subtrai-se:
Fazendo as contas termo a termo:
-
. -
. -
.
Portanto o novo resto é
Passo 5
Critério de parada e conclusão da divisão.
- O resto atual é
, que tem grau . - Como
, paramos: esse é o resto final. - O quociente acumulado é a soma dos termos obtidos:
.
Assim obtemos
Passo 6
Verificação (para garantir que não houve erro).
Compute
e confira que volta
:
Calcule o produto:
Somando o resto:
que é exatamente
. Verificação OK.
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: