1. Calcule o quociente e o resto da divisão de \mathrm{P}(\mathrm{x}) por \mathrm{Q}(\mathrm{x}) nos casos abaixo:
b) P(x)=x^{3}-2 x^{2}+x+1 e Q(x)=x^{2}-x+2

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pedido: calcular o quociente e o resto da divisão de P(x) por Q(x).
  • Dados:
    • P(x)=x^{3}-2x^{2}+x+1.
    • Q(x)=x^{2}-x+2.
O objetivo é encontrar polinômios S(x) (quociente) e R(x) (resto) tais que
P(x)=Q(x)\cdot S(x)+R(x),
com \deg(R)<\deg(Q). Aqui \deg(Q)=2, logo o resto deve ter grau menor que 2 (ou seja, ser no máximo de grau 1: uma expressão da forma ax+b).

Passo 2

Explicação do método escolhido e por que ele funciona (aula rápida).
  • Metodo: divisão polinomial (divisão “em coluna”, ou algoritmo da divisão).
  • Por que funciona: ao dividir P por Q procuramos um S que reduz o grau do polinômio restante passo a passo. Em cada etapa dividimos o termo de maior grau do resto atual pelo termo de maior grau de Q para obter o próximo termo do quociente; multiplicamos Q por esse termo e subtraímos para obter um novo resto de grau menor ou igual ao anterior. Repetimos até que o grau do resto seja menor que o grau de Q.
  • Notação: chamaremos a cada etapa de “resto atual” o polinômio que sobra depois das subtrações.
Agora vamos aplicar isso passo a passo ao caso concreto.

Passo 3

Primeira etapa da divisão: comparar os termos líderes.
  • Termo líder de P(x): x^{3}.
  • Termo líder de Q(x): x^{2}.
  • Dividindo os líderes: \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x. Esse é o primeiro termo do quociente.
Multiplicamos Q(x) por esse termo e subtraímos de P(x):
(x^{2}-x+2)\cdot x = x^{3}-x^{2}+2x.
Agora subtrai-se esse produto de P(x). Escrevendo a operação:
P(x)-\big((x^{2}-x+2)\cdot x\big)=\big(x^{3}-2x^{2}+x+1\big)-\big(x^{3}-x^{2}+2x\big).
Fazendo as contas termo a termo:
  • x^{3}-x^{3}=0.
  • -2x^{2}-(-x^{2})=-2x^{2}+x^{2}=-x^{2}.
  • x-2x=-x.
  • constante 1-0=1.
Logo o resto após a primeira etapa é
-x^{2}-x+1.

Passo 4

Segunda etapa da divisão: dividir o novo termo líder pelo líder de Q.
  • Termo líder do resto atual: -x^{2}.
  • Termo líder de Q: x^{2}.
  • Dividindo: \dfrac{-x^{2}}{x^{2}}=-1. Esse é o próximo termo do quociente.
Multiplicamos Q(x) por -1 e subtraímos do resto atual:
(x^{2}-x+2)\cdot(-1) = -x^{2}+x-2.
Agora subtrai-se:
\big(-x^{2}-x+1\big)-\big(-x^{2}+x-2\big).
Fazendo as contas termo a termo:
  • -x^{2}-(-x^{2})=0.
  • -x-(x)=-2x.
  • 1-(-2)=1+2=3.
Portanto o novo resto é
-2x+3.

Passo 5

Critério de parada e conclusão da divisão.
  • O resto atual é -2x+3, que tem grau 1.
  • Como \deg(-2x+3)=1<\deg(Q)=2, paramos: esse é o resto final.
  • O quociente acumulado é a soma dos termos obtidos: x+(-1)=x-1.
Assim obtemos
S(x)=x-1,\qquad R(x)=-2x+3.

Passo 6

Verificação (para garantir que não houve erro).
Compute Q(x)\cdot S(x)+R(x) e confira que volta P(x):
(x^{2}-x+2)(x-1)+(-2x+3).
Calcule o produto:
(x^{2}-x+2)(x-1)=x^{3}-2x^{2}+3x-2.
Somando o resto:
x^{3}-2x^{2}+3x-2+(-2x+3)=x^{3}-2x^{2}+x+1,
que é exatamente P(x). Verificação OK.

Resposta

Quociente: x-1
Resto: -2x+3

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