- Calcule o quociente e o resto da divisão de
por
nos casos abaixo:
d)
e
Passo 1
O enunciado pede: calcular o quociente e o resto da divisão de
por
no caso
Informações relevantes dadas:
-
é um polinômio de grau . -
é um polinômio de grau . - Ao dividir um polinômio de grau
por outro de grau , o quociente terá grau (no máximo) e o resto terá grau menor que (isto é, será da forma ).
Passo 2
Explicando o método que vamos usar (divisão de polinômios passo a passo):
- A divisão de polinômios funciona como a divisão de números: escolhe-se o termo dominante do dividendo, divide-se pelo termo dominante do divisor para obter o próximo termo do quociente, multiplica-se o divisor por esse termo, subtrai-se do dividendo parcial e repete-se até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.
- Aqui o termo dominante de
é e de é . Logo o primeiro termo do quociente será dado por . - Vou organizar
incluindo o termo ausente de grau como , isto facilita os cálculos:
Passo 3
Primeiro passo da divisão: dividir o termo dominante.
Multiplica-se
por
:
Passo 4
Subtrair esse produto de
(fazendo
):
Esse é o novo resto parcial, de grau
. Como seu grau ainda não é menor que
, continuamos a divisão.]
Passo 5
Segundo passo da divisão: dividir o termo dominante do resto parcial pelo termo dominante de
:
Multiplica-se
por
:
Passo 6
Subtrair esse produto do resto parcial:
Agora o resto obtido é
, que tem grau
, menor que o grau de
(que é
). Portanto a divisão termina aqui.]
Passo 7
Resumo dos resultados obtidos pela divisão longa:
- Quociente (juntando os termos encontrados) é
. - Resto é
.
Para ter certeza, verificamos a identidade da divisão: deve valer
Substituindo:
que é exatamente
. A verificação confere.]
Passo 8
Comentário final e dica de prova:
- Em prova, a divisão longa é um método seguro e rápido quando os graus são pequenos; cuide de escrever todos os termos (inclusive coeficientes zero) para não errar sinais.
- Outra abordagem possível seria assumir quociente linear
e resto e igualar coeficientes em
resolvendo o sistema linear para
. Dá o mesmo resultado, mas a divisão longa costuma ser mais direta.
Resposta
Quociente:
Resto: