1. Calcule o quociente e o resto da divisão de \mathrm{P}(\mathrm{x}) por \mathrm{Q}(\mathrm{x}) nos casos abaixo:
d) P(x)=x^{3}-2 x^{2}+4 e Q(x)=x^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede: calcular o quociente e o resto da divisão de P(x) por Q(x) no caso
P(x)=x^{3}-2x^{2}+4,\qquad Q(x)=x^{2}-4.
Informações relevantes dadas:
  • P(x) é um polinômio de grau 3.
  • Q(x) é um polinômio de grau 2.
  • Ao dividir um polinômio de grau 3 por outro de grau 2, o quociente terá grau 1 (no máximo) e o resto terá grau menor que 2 (isto é, será da forma ax+b).

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (divisão de polinômios passo a passo):
  • A divisão de polinômios funciona como a divisão de números: escolhe-se o termo dominante do dividendo, divide-se pelo termo dominante do divisor para obter o próximo termo do quociente, multiplica-se o divisor por esse termo, subtrai-se do dividendo parcial e repete-se até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.
  • Aqui o termo dominante de P(x) é x^{3} e de Q(x) é x^{2}. Logo o primeiro termo do quociente será dado por \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x.
  • Vou organizar P(x) incluindo o termo ausente de grau 1 como 0x, isto facilita os cálculos:
P(x)=x^{3}-2x^{2}+0x+4.

Passo 3

Primeiro passo da divisão: dividir o termo dominante.
\text{Primeiro termo do quociente}=\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x.
Multiplica-se Q(x) por x:
x\cdot Q(x)=x\cdot(x^{2}-4)=x^{3}-4x.

Passo 4

Subtrair esse produto de P(x) (fazendo P(x)-x\cdot Q(x)):
\begin{aligned} &\bigl(x^{3}-2x^{2}+0x+4\bigr)-\bigl(x^{3}-4x\bigr)\\[4pt] &\quad= x^{3}-2x^{2}+0x+4 -x^{3}+4x\\[4pt] &\quad= -2x^{2}+4x+4. \end{aligned}
Esse é o novo resto parcial, de grau 2. Como seu grau ainda não é menor que 2, continuamos a divisão.]

Passo 5

Segundo passo da divisão: dividir o termo dominante do resto parcial pelo termo dominante de Q(x):
\text{Próximo termo do quociente}=\dfrac{-2x^{2}}{x^{2}}=-2.ó
Multiplica-se Q(x) por -2:
-2\cdot Q(x)=-2\cdot(x^{2}-4)=-2x^{2}+8.

Passo 6

Subtrair esse produto do resto parcial:
\begin{aligned} &\bigl(-2x^{2}+4x+4\bigr)-\bigl(-2x^{2}+8\bigr)\\[4pt] &\quad= -2x^{2}+4x+4 +2x^{2}-8\\[4pt] &\quad= 4x-4. \end{aligned}
Agora o resto obtido é 4x-4, que tem grau 1, menor que o grau de Q(x) (que é 2). Portanto a divisão termina aqui.]

Passo 7

Resumo dos resultados obtidos pela divisão longa:
  • Quociente (juntando os termos encontrados) é x-2.
  • Resto é 4x-4.
Para ter certeza, verificamos a identidade da divisão: deve valer
P(x)=Q(x)\cdot\bigl(\text{quociente}\bigr)+\bigl(\text{resto}\bigr).
Substituindo:
\begin{aligned} Q(x)\cdot(x-2)+(4x-4) &=(x^{2}-4)(x-2)+(4x-4)\\[4pt] &=x^{3}-2x^{2}-4x+8+4x-4\\[4pt] &=x^{3}-2x^{2}+4, \end{aligned}
que é exatamente P(x). A verificação confere.]

Passo 8

Comentário final e dica de prova:
  • Em prova, a divisão longa é um método seguro e rápido quando os graus são pequenos; cuide de escrever todos os termos (inclusive coeficientes zero) para não errar sinais.
  • Outra abordagem possível seria assumir quociente linear ax+b e resto cx+d e igualar coeficientes em
x^{3}-2x^{2}+4=(x^{2}-4)(ax+b)+(cx+d),
resolvendo o sistema linear para a,b,c,d. Dá o mesmo resultado, mas a divisão longa costuma ser mais direta.

Resposta

Quociente: x-2
Resto: 4x-4

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