1. Calcule o quociente e o resto da divisão de \mathrm{P}(\mathrm{x}) por \mathrm{Q}(\mathrm{x}) nos casos abaixo:
a) P(x)=4 x^{4}-4 x^{3}+x-1 e Q(x)=4 x^{3}+1

Passo 1

O enunciado pede o quociente e o resto da divisão de P(x) por Q(x). As informações dadas são:
  • P(x)=4x^{4}-4x^{3}+x-1.
  • Q(x)=4x^{3}+1.
Observações úteis que não resolvem ainda o problema:
  • \deg(P)=4 e \deg(Q)=3. Logo o quociente esperado terá grau \le 1 e o resto terá grau <3.

Passo 2

Método escolhido: divisão polinomial (divisão algébrica) em linha, que é o jeito básico e seguro para este tipo de problema.
Lembrete rápido sobre o método (explicação didática):
  • Escreve-se os polinômios com todos os termos, incluindo coeficientes zero para potências ausentes, para alinhar as colunas de potências.
  • Divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter o próximo termo do quociente.
  • Multiplica-se o divisor por esse termo do quociente e subtrai-se do dividendo; o resultado é o novo resto parcial.
  • Repete-se até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.
Escrevendo com termos nulos:
P(x)=4x^{4}-4x^{3}+0x^{2}+x-1, \qquad Q(x)=4x^{3}+0x^{2}+0x+1.

Passo 3

Primeiro passo da divisão: dividir os termos líderes.
  • Termo líder de P: 4x^{4}.
  • Termo líder de Q: 4x^{3}.
\text{Primeiro termo do quociente}=\frac{4x^{4}}{4x^{3}}=x.
Multiplica-se Q(x) por x e subtrai-se de P(x):
x\cdot Q(x)=x(4x^{3}+1)=4x^{4}+x.
Subtraindo:
\bigl(4x^{4}-4x^{3}+0x^{2}+x-1\bigr)-\bigl(4x^{4}+x\bigr) = -4x^{3}+0x^{2}+0x-1.
Portanto o resto parcial é
R_1(x)=-4x^{3}+0x^{2}+0x-1.

Passo 4

O grau de R_1(x) é 3, igual ao grau de Q(x), então podemos continuar a divisão.
Divide-se o termo líder de R_1 pelo termo líder de Q:
\frac{-4x^{3}}{4x^{3}}=-1.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplica-se Q(x) por -1:
-1\cdot Q(x)=-1(4x^{3}+1)=-4x^{3}-1.
Subtrai-se:
\bigl(-4x^{3}+0x^{2}+0x-1\bigr)-\bigl(-4x^{3}-1\bigr)=0.
O resto final é 0.

Passo 5

Resumo e verificação rápida:
  • Quociente obtido: x-1.
  • Resto obtido: 0.
Verificação multiplicativa:
(x-1)(4x^{3}+1)=4x^{4}+x-4x^{3}-1=4x^{4}-4x^{3}+x-1,
que coincide com P(x). Portanto a divisão está correta e é exata.

Resposta

Quociente: x-1
Resto: 0

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