1. Divida os polinômios abaixo utilizando Briot-Rufinni.
  2. (PUC-BA)-O quociente da divisão do polinômio \mathrm{P}=\mathrm{x}^{3} -3 x^{2}+3 x-1 pelo polinômio q=x-1 é:

Passo 1

O enunciado pede o quociente da divisão do polinômio P=\mathrm{x}^{3}-3\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{x}-1 pelo polinômio q=\mathrm{x}-1.
Informações dadas:
  • Polinômio dividendo: P(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-3\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{x}-1.
  • Polinômio divisor: q(\mathrm{x})=\mathrm{x}-1.
  • A tarefa: encontrar o quociente da divisão (e implicitamente verificar o resto).

Passo 2

Explicando a ideia do método de Briot-Ruffini (divisão sintética), passo a passo e sem pressa:
  • Quando o divisor é da forma \mathrm{x}-a, usa-se o número a na divisão sintética. Aqui o divisor é \mathrm{x}-1, então a=1.
  • Escrevem-se os coeficientes do polinômio dividendo em ordem decrescente de grau. Cada operação segue duas etapas repetidas: “trazer” o coeficiente mais à esquerda para o resultado, e “multiplicar” esse valor por a e somar ao próximo coeficiente.
  • O último número obtido após todas as somas é o resto; os números intermediários (exceto o primeiro trazido) formam os coeficientes do quociente.

Passo 3

Aplicando Briot-Ruffini com a=1. Primeiro os coeficientes de P:
1,\\\ -3,\\\ 3,\\\ -1
Agora o procedimento, mostrando cada operação:
  • Trago o primeiro coeficiente: 1. Esse será o coeficiente do termo de maior grau do quociente.
  • Multiplico esse 1 por a=1: 1\cdot 1 = 1. Somo ao próximo coeficiente -3: -3+1=-2.
  • Multiplico -2 por 1: -2\cdot 1=-2. Somo ao próximo coeficiente 3: 3+(-2)=1.
  • Multiplico 1 por 1: 1\cdot 1=1. Somo ao próximo coeficiente -1: -1+1=0.
Assim a sequência completa fica:
\begin{array}{cccc} \text{coeficientes:} & 1 & -3 & 3 & -1\\[4pt] \text{trazer/somar:} & & 1 & -2 & 1 & \;0 \end{array}
Onde os números 1,\,-2,\,1 (exceto o último 0) são os coeficientes do quociente e o último 0 é o resto.]

Passo 4

Interpretando o resultado:
  • Os coeficientes do quociente, em ordem, são 1,\\\ -2,\\\ 1, que correspondem aos termos dos graus 2,1,0. Então o quociente é
\mathrm{x}^{2}-2\mathrm{x}+1.
  • O resto é 0, portanto a divisão é exata: P(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1)\bigl(\mathrm{x}^{2}-2\mathrm{x}+1\bigr).

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): multiplico o divisor pelo quociente para checar se volto ao polinômio original.
  • Primeiro \mathrm{x}\cdot(\mathrm{x}^{2}-2\mathrm{x}+1)=\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}.
  • Depois -1\cdot(\mathrm{x}^{2}-2\mathrm{x}+1)=-\mathrm{x}^{2}+2\mathrm{x}-1.
  • Somando:
\mathrm{x}^{3}-2\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}\;+\;(-\mathrm{x}^{2}+2\mathrm{x}-1) =\mathrm{x}^{3}-3\mathrm{x}^{2}+3\mathrm{x}-1,
que é exatamente P(\mathrm{x}). Tudo confere.

Resposta

\mathrm{x}^{2}-2\mathrm{x}+1

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