Calcule
, e
. R:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando lidamos com expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A desigualdade
pode ser reescrita completando o quadrado:
Completar o quadrado para o termo em
:
Então, a desigualdade fica:
Isso representa um círculo de raio 1 com centro em
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
E a área diferencial
em coordenadas polares é
.
A função que vamos integrar,
, em coordenadas polares simplifica para
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A região
é um círculo de raio 1 centrado em
. Em coordenadas polares, isso significa que o raio
varia de 0 a algo que depende de
.
Para achar o limite superior de
, vamos usar a equação do círculo:
Então,
ou
. Como
, temos que
. Isso implica que
, ou seja,
está entre
e
.
Passo 5
Agora podemos escrever a integral em coordenadas polares:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em
:
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa:
Sabemos que:
Passo 8
Aplicando os limites:
Calculando em
e
:
Então:
Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos verificar.
Passo 9
Reavaliando a integral de
:
Na verdade,
Então,
Substituindo: