Calcule integralegral duplaOmega raizx^2+y^2 d A, e Omega=(x, y) in R^2: x^2+y^2+2 y <= 0. R: 329

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular a integral dupla integral duplaOmega raizx^2+y^2 , dA, onde a região Omega é definida por (x, y) in R^2 : x^2+y^2+2y <= 0. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando lidamos com expressões como raizx^2+y^2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região Omega. A desigualdade x^2+y^2+2y <= 0 pode ser reescrita completando o quadrado:
x^2 + (y^2 + 2y) <= 0
Completar o quadrado para o termo em y:
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
Então, a desigualdade fica:
x^2 + (y + 1)^2 - 1 <= 0
x^2 + (y + 1)^2 <= 1
Isso representa um círculo de raio 1 com centro em (0, -1).

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos theta y = r sin theta
E a área diferencial dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.
A função que vamos integrar, raizx^2 + y^2, em coordenadas polares simplifica para r.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A região Omega é um círculo de raio 1 centrado em (0, -1). Em coordenadas polares, isso significa que o raio r varia de 0 a algo que depende de theta.
Para achar o limite superior de r, vamos usar a equação do círculo:
x^2 + (y + 1)^2 = 1 (r cos theta)^2 + (r sin theta + 1)^2 = 1 r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta + 2 r sin theta + 1 = 1 r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) + 2 r sin theta = 0 r^2 + 2 r sin theta = 0 r (r + 2 sin theta) = 0
Então, r = 0 ou r = -2 sin theta. Como r >= 0, temos que r = -2 sin theta. Isso implica que sin theta <= 0, ou seja, theta está entre pi e 2pi.

Passo 5

Agora podemos escrever a integral em coordenadas polares:
integral duplaOmega raizx^2+y^2 , dA = integraltheta=pi^2pi integralr=0^-2 sin theta r cdot r , dr , dtheta = integralpi^2pi integral0^-2 sin theta r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em r:
integral0^-2 sin theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^-2 sin theta = (-2 sin theta)^33 - 0 = -8 sin^3 theta3

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:
integralpi^2pi -8 sin^3 theta3 , dtheta = -83 integralpi^2pi sin^3 theta , dtheta
Sabemos que:
integral sin^3 theta , dtheta = - cos theta (2 + cos^2 theta) 3

Passo 8

Aplicando os limites:
-83 [ - cos theta (2 + cos^2 theta) 3 ]pi^2pi = 89 [ cos theta (2 + cos^2 theta) ]pi^2pi
Calculando em theta = 2pi e theta = pi:
cos(2pi) = 1, cos(pi) = -1
Então:
89 [ 1 (2 + 1) - (-1)(2 + 1) ] = 89 [3 + 3] = 89 times 6 = 489 = 163
Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos verificar.

Passo 9

Reavaliando a integral de sin^3 theta:
Na verdade,
integral sin^3 theta , dtheta = integral sin theta (1 - cos^2 theta) , dtheta = -cos theta + cos^3 theta3 + C
Então,
-83 [ -cos theta + cos^3 theta3 ]pi^2pi = -83 [ ( -cos 2pi + cos^3 2pi3 ) - ( -cos pi + cos^3 pi3 ) ]
Substituindo:
-83 [ ( -1 + 13 ) - ( 1 - 13 ) ] = -83 [ ( -23 ) - ( 23 ) ] = -83 ( -43 ) = 329

Resposta

329

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