Calcule integralegral duplaOmega(raiz1-x^2-y^2-raizx^2+y^2) d A, e Omega=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1, y >= 0. R: 0

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaOmegal(raiz1-x^2-y^2-raizx^2+y^2r),dA,
onde Omega=(x,y)inR^2: x^2+y^2<=1,;y>=0.
Essa região é o semicírculo superior de raio 1. Vamos usar coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta

Passo 2

Em coordenadas polares,
Omega:;0<= r<=1,0<=theta<=pi,
e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. Assim a integral fica
integral0^piintegral0^1l(raiz1-r^2-rr),r,dr,dtheta

Passo 3

Separe a integral em
I=integral0^1l(rraiz1-r^2-r^2r),dr,
de modo que o valor pedido é
integral0^piI,dtheta

Passo 4

Calcule
I1=integral0^1rraiz1-r^2,dr
Use u=1-r^2, du=-2r,dr. Então
I1 =integralu=1^0raizu,l(-du2r) =12integral0^1u^tfrac12,du =12cdot23 =13

Passo 5

Calcule
I2=integral0^1r^2,dr =l[tfracr^33r]0^1 =13

Passo 6

Logo
I=I1-I2 =13-13 =0,
e portanto
integral duplaOmegal(raiz1-x^2-y^2-raizx^2+y^2r),dA =integral0^pi0,dtheta =0

Resposta

0

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