Calcule integralegral duplaOmega raiz9-x^2-y^2 d A, e Omega=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 9, x >= 0, y >= 0. R: 9 pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaOmega raiz9 - x^2 - y^2,dA
onde
Omega = (x,y)inR^2: x^2+y^2<= 9,;x>= 0,;y>= 0
Essa região é um quarto de disco de raio 3 no primeiro quadrante. Para lidar com a raiz de 9 - x^2 - y^2 e com o termo x^2+y^2<=9, o método mais natural é usar coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Em coordenadas polares o integrando fica raiz9 - r^2 e o elemento de área é r,dr,dtheta. A região Omega traduz-se em
0<= r<= 3, 0<= theta<= pi2
Logo a integral torna-se
integral duplaOmega raiz9 - x^2 - y^2,dA =integral0^pi/2!!integral0^3 raiz9 - r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^3 r,raiz9 - r^2,dr
Fazendo u = 9 - r^2, temos du = -2r,dr ou r,dr = -tfrac12,du. Quando r=0, u=9; quando r=3, u=0. Assim
integral0^3 r,raiz9 - r^2,dr =integral9^0 raizu,l(-tfrac12,dur) =tfrac12integral0^9 u^1/2,du =tfrac12cdot23u^3/2llvert0^9 =13,9^3/2 =9

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^pi/2 9,dtheta =9;l[thetar]0^pi/2 =9cdotpi2 =9pi2

Resposta

9pi2

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