Determine a solução geral das equações abaixo.
d sd t cos t+s sen t=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
d sd tcos t + ssin t = 1
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e de forma linear em s. Vamos dividi-la por cos t (supondo cos tneq0) e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por cos t, obtemos a forma padrão
d sd t + (tan t),s = sec t

Passo 3

O fator integrante mu(t) satisfaz
mu(t) = exp!gl(integral tan t,dtgr) = exp(-ln|cos t|) = 1cos t
Para simplificar, escolhemos mu(t)=sec t.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=sec t, temos
sec t,d sd t + sec ttan t,s = sec^2 t
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto ssec t, pois
ddtl(ssec tr) = sec t,d sd t + s,ddt(sec t) = sec t,d sd t + ssec ttan t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
ddtl(ssec tr) = sec^2 t Longrightarrow ssec t = integral sec^2 t,dt = tan t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando s, obtemos
s = cos t,(tan t + C) = sin t + Ccos t

Resposta

s(t) = sin t + Ccos t,
onde C é constante arbitrária.

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