Calcule integralegral triplaOmega 2 z d V, e Omega=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2+z^2 <= 4, x^2+y^2 >= 1, z >= 0. R: 9 pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaOmega2z,dV
sobre a região
Omega=(x,y,z)inR^3 : x^2+y^2+z^2<=4,;x^2+y^2>=1,;z>=0
Este é um problema de integração em coordenadas cilíndricas, pois a região é descrita por limites circulares em x,y e por uma esfera de radius 2.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, dV=r,dz,dr,dtheta
As condições ficam:
;r^2+z^2<=4 0<= z<=raiz4-r^2,
;x^2+y^2>=1 r>=1,
;x^2+y^2+z^2<=4 e z>=0 impõem r<=2 e theta de 0 a 2pi.
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integral triplaOmega2z,dV =integraltheta=0^2piintegralr=1^2integralz=0^raiz4-r^22z,(r,dz),dr,dtheta

Passo 3

Calcular a integral interna em z:
integralz=0^raiz4-r^22z,r,dz =rintegral0^raiz4-r^22z,dz =rl[z^2r]0^raiz4-r^2 =r,(4-r^2)

Passo 4

Agora sobra a integral em r,theta:
integraltheta=0^2piintegralr=1^2r(4-r^2),dr,dtheta =2piintegral1^2(4r-r^3),dr
Compute:
integral1^2(4r-r^3),dr =l[2r^2-tfracr^44r]1^2 =l(2cdot4-tfrac164r)-l(2cdot1-tfrac14r) =(8-4)-(2-tfrac14)=4-1,75=2,25
Multiplicando por 2pi
2picdot2,25=4,5pi=9pi2

Resposta

9pi2

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