Determine a solução geral das equações abaixo.
d yd x+2 yx=2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
dydx + 2,yx = 2,y^2
Este é um caso de equação de Bernoulli:
dydx + P(x),y = Q(x),y^n,
com P(x)=2x, Q(x)=2 e n=2. Vamos usar a substituição
v = y^1-n = y^-1
para reduzir a equação a uma linear em v.

Passo 2

Definindo v = y^-1, temos
dvdx = -,y^-2,dydx
Como dydx = 2,y^2 - 2xy, substituindo:
dvdx = -,y^-2l(2,y^2 - tfrac2xyr) = -2 + 2x,y^-1 = -2 + 2x,v
Reorganizando, obtemos a linear em v:
dvdx - 2x,v = -2

Passo 3

Para resolver
dvdx - 2xv = -2,
calculamos o fator integrante
mu(x) = e^-integral tfrac2x,dx = e^-2ln|x| = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2:
x^-2dvdx - 2x^-3v = -2x^-2,
cuja parte esquerda é
ddxl(x^-2vr) = -2x^-2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral ddxl(x^-2vr),dx = integral -2x^-2,dx Longrightarrow x^-2v = 2x^-1 + C
Multiplicando por x^2,
v = 2x + Cx^2

Passo 5

Voltando à variável original, v = y^-1, temos
1y = Cx^2 + 2x Longrightarrow y = 1Cx^2 + 2x

Resposta

A solução geral é
y(x) = 1C,x^2 + 2,x,
com C constante arbitrária.

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