Determine a solução geral das equações abaixo.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
onde
. Esse tipo de equação é da forma de Clairaut, isto é,
com
e
. Vamos usar o método de Clairaut para obter a solução geral e a solução singular.
Passo 2
Defina
. Substituindo na equação, obtemos
Passo 3
Na abordagem de Clairaut, diferenciamos ambos os lados em relação a
:
Igualando as duas expressões para
, vem
Isso gera duas possibilidades:
-
, ou -
.
Passo 4
Caso
, temos
constante. Então
que é a família de retas da solução geral, com parâmetro
.
Passo 5
Agora considere
. Isso dá
Substituindo em
, obtemos
Essa é a solução singular (envelope) da família de retas.
Resposta
Solução geral:
, onde
é constante.
Solução singular:
.