Determine a solução geral das equações abaixo.
y=x y^prime+y^prime-(y^prime)^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y = x,y' + y' - l(y'r)^2,
onde y'=dy/dx. Esse tipo de equação é da forma de Clairaut, isto é,
y = x,p + f(p),
com p=y' e f(p)=p-p^2. Vamos usar o método de Clairaut para obter a solução geral e a solução singular.

Passo 2

Defina p = y'. Substituindo na equação, obtemos
y = x,p + l(p - p^2r) = p,(x+1) - p^2

Passo 3

Na abordagem de Clairaut, diferenciamos ambos os lados em relação a x:
y' = p e ddxl[p,(x+1) - p^2r] = p + (x+1),p' - 2p,p'
Igualando as duas expressões para y', vem
p = p + (x+1),p' - 2p,p' Longrightarrow p',l(x+1 - 2pr)=0
Isso gera duas possibilidades:
  1. p'=0, ou
  2. x+1-2p=0.

Passo 4

Caso p'=0, temos p=C constante. Então
y = C,(x+1) - C^2 = Cx + C - C^2,
que é a família de retas da solução geral, com parâmetro C.

Passo 5

Agora considere x+1-2p=0. Isso dá
p = x+12
Substituindo em y = p,(x+1) - p^2, obtemos
y = x+12,(x+1) - l(x+12r)^2 = (x+1)^22 - (x+1)^24 = (x+1)^24
Essa é a solução singular (envelope) da família de retas.

Resposta

Solução geral: y = C,x + C - C^2, onde C é constante.
Solução singular: y = (x+1)^24.

Exercícios relacionados