Determine a solução geral das equações abaixo.
d yd x=4x y+x raizy.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
d yd x = 4x,y + xraizy
Trata-se de uma equação de primeira ordem não linear, mas que fica linear após a substituição ;u=raizy.

Passo 2

Fazendo ;u=raizy implica y=u^2 e
d yd x = 2u,d ud x
Substituindo em d yd x = 4xy + xraizy obtemos
2u,d ud x = 4x,u^2 + x,u
Dividindo ambos os lados por 2u (supondo uneq0) chega-se a
d ud x = 2x,u + x2

Passo 3

A equação para u(x) é linear:
d ud x - 2x,u = x2
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral -tfrac2x,dxr) = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2 nota-se que o lado esquerdo é
x^-2d ud x - 2x^-3u = dd xl(u,x^-2r),
e o lado direito fica tfracx2,x^-2 = tfrac12x^-1

Passo 4

Integramos
dd xl(u,x^-2r) = 12,x^-1 Longrightarrow u,x^-2 = 12lnlvert xrvert + C,
portanto
u(x) = x^2l(tfrac12lnlvert xrvert + Cr)

Passo 5

Voltando à variável original y = u^2, obtemos
y(x) = l[u(x)r]^2 = x^4l(tfrac12lnlvert xrvert + Cr)^2,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = x^4l(C + tfrac12lnlvert xrvertr)^2, CinR

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