Calcule e mostre que esta quantidade é constante para o movimento circular uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o produto vetorial entre o vetor posição e o vetor velocidade em um movimento circular uniforme. A ideia aqui está ligada à cinemática vetorial e movimento circular uniforme. Para resolver, vamos precisar entender como são definidos esses vetores e como calcular o produto vetorial entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o vetor posição para um movimento circular uniforme. Imagine um objeto se movendo em um círculo de raio com velocidade constante. Podemos expressar em coordenadas cartesianas assim:
Aqui, é a velocidade angular, e e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade. Sabemos que a velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
Calculando a derivada:
Passo 4
Com os vetores e definidos, vamos agora calcular o produto vetorial. Lembrando que para vetores no plano xy, o produto vetorial resulta em um vetor na direção z:
Calculando o determinante:
r(t) times v(t) = [ (R cos(omega t))(R omega cos(omega t)) - (R sin(omega t))(-R omega sin(omega t)) ] k
Simplificando:
r(t) times v(t) = ( R^2 omega cos^2(omega t) + R^2 omega sin^2(omega t) ) k
r(t) times v(t) = R^2 omega (cos^2(omega t) + sin^2(omega t)) k
Sabemos que cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1, então:
r(t) times v(t) = R^2 omega , k
Passo 5
Observando o resultado, vemos que o produto vetorial r(t) times v(t) é igual a R^2 omega , k, que é uma constante, já que R e omega são constantes no movimento circular uniforme. Isso significa que essa quantidade não depende do tempo t, ou seja, é uma constante ao longo do movimento.
Resposta
Portanto, no movimento circular uniforme, o produto vetorial r(t) times v(t) é constante e igual a R^2 omega , k.