Calcule r(t) times v(t) e mostre que esta quantidade é constante para o movimento circular uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o produto vetorial entre o vetor posição r(t) e o vetor velocidade v(t) em um movimento circular uniforme. A ideia aqui está ligada à cinemática vetorial e movimento circular uniforme. Para resolver, vamos precisar entender como são definidos esses vetores e como calcular o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o vetor posição r(t) para um movimento circular uniforme. Imagine um objeto se movendo em um círculo de raio R com velocidade constante. Podemos expressar r(t) em coordenadas cartesianas assim:
r(t) = R cos(omega t) , i + R sin(omega t) , j
Aqui, omega é a velocidade angular, e i e j são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade v(t). Sabemos que a velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
v(t) = dr(t)dt
Calculando a derivada:
v(t) = -R omega sin(omega t) , i + R omega cos(omega t) , j

Passo 4

Com os vetores r(t) e v(t) definidos, vamos agora calcular o produto vetorial r(t) times v(t). Lembrando que para vetores no plano xy, o produto vetorial resulta em um vetor na direção z:
r(t) times v(t) = i & j & k R cos(omega t) & R sin(omega t) & 0 - R omega sin(omega t) & R omega cos(omega t) & 0
Calculando o determinante:
r(t) times v(t) = [ (R cos(omega t))(R omega cos(omega t)) - (R sin(omega t))(-R omega sin(omega t)) ] k
Simplificando:
r(t) times v(t) = ( R^2 omega cos^2(omega t) + R^2 omega sin^2(omega t) ) k
r(t) times v(t) = R^2 omega (cos^2(omega t) + sin^2(omega t)) k
Sabemos que cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1, então:
r(t) times v(t) = R^2 omega , k

Passo 5

Observando o resultado, vemos que o produto vetorial r(t) times v(t) é igual a R^2 omega , k, que é uma constante, já que R e omega são constantes no movimento circular uniforme. Isso significa que essa quantidade não depende do tempo t, ou seja, é uma constante ao longo do movimento.

Resposta

Portanto, no movimento circular uniforme, o produto vetorial r(t) times v(t) é constante e igual a R^2 omega , k.

Exercícios relacionados