Calcule o raio da base e a altura do cone de área lateral máxima que é inscritível numa esfera de raio R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o raio da base e a altura de um cone inscrito numa esfera de raio R de modo que sua área lateral seja máxima. O conteúdo envolve geometria de sólidos e otimização via derivadas.

Passo 2

Modelamos o cone inscrito colocando seu vértice no polo norte da esfera e sua base num plano paralelo ao equador, a uma distância h abaixo do vértice. Da relação entre o cone e a esfera, obtemos
r^2 + (R - h)^2 = R^2 onde r é o raio da base do cone e h sua altura. Além disso, a geratriz do cone é l = raizr^2 + h^2, e a área lateral é
AL = pi ,r,l

Passo 3

Substituímos r^2 = 2Rh - h^2 (da equação da esfera) e l = raizr^2 + h^2 = raiz2Rh em AL para escrever
AL(h) = pi ,raiz2Rh - h^2,raiz2Rh = pi ,raiz(2Rh - h^2),2Rh

Passo 4

Para simplificar a maximização, definimos f(h) = (2Rh - h^2),2Rh = 4R^2h^2 - 2Rh^3. Calculamos sua derivada:
f'(h) = 8R^2h - 6Rh^2 = 2Rh(4R - 3h)

Passo 5

Igualando f'(h)=0 (descartando h=0), vem 4R - 3h = 0, ou seja h = tfrac4R3.

Passo 6

Substituindo em r^2 = 2Rh - h^2, encontramos
r^2 = 2Rcdot4R3 - l(4R3r)^2 = 8R^23 - 16R^29 = 8R^29, logo r = 2raiz23R.

Resposta

Raio da base: r = 2raiz23R Altura do cone: h = 43R.

Exercícios relacionados