Calcule o raio da base e a altura do cone de área lateral máxima que é inscritível numa esfera de raio
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o raio da base e a altura de um cone inscrito numa esfera de raio
de modo que sua área lateral seja máxima. O conteúdo envolve geometria de sólidos e otimização via derivadas.
Passo 2
Modelamos o cone inscrito colocando seu vértice no polo norte da esfera e sua base num plano paralelo ao equador, a uma distância
abaixo do vértice. Da relação entre o cone e a esfera, obtemos
Passo 3
Substituímos
(da equação da esfera) e
em
para escrever
Passo 4
Para simplificar a maximização, definimos
. Calculamos sua derivada:
Passo 5
Igualando
(descartando
), vem
, ou seja
.
Passo 6
Substituindo em
, encontramos
Resposta
Raio da base:
Altura do cone:
.