Verifique que as EDOs a seguir são de variáveis separáveis e resolva-as.
y^prime=y cos x1+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a EDO y'=ycos x1+2y^2 é de variáveis separáveis e então resolver por separação de variáveis. O conteúdo aqui é EDOs separáveis, e vamos precisar reescrever y'=dydx, separar as variáveis em lados diferentes e integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro reescrevemos y' como derivada de y em relação a x:
dydx=ycos x1+2y^2
Note que o lado direito se factoriza em função de y vezes função de x, isto é, g(y)=y1+2y^2 e f(x)=cos x, confirmando que é separável.

Passo 3

Agora separam-se as variáveis: colocamos todos os termos em y com dy e todos os termos em x com dx:
1+2y^2y,dy=cos x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral1+2y^2y,dy=integralcos x,dx

Passo 5

Calculamos as integrais:
integral1+2y^2y,dy=integrall(1y+2yr)dy=ln|y|+y^2
integralcos x,dx=sin x
Portanto a solução geral implícita é
ln|y|+y^2=sin x+C,
onde C é constante de integração.

Resposta

ln|y|+y^2=sin x+C

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