Determine o volume e a área lateral de um cone em funçâo de sua altura h e do raio R da esfera circunscrita ao cone.

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos: pedir para determinar o volume e a área lateral de um cone em função da sua altura h e do raio R da esfera circunscrita ao cone.
Informações relevantes fornecidas:
  • A altura do cone é h.
  • A esfera circunscrita ao cone tem raio R.
  • As quantidades que aparecem normalmente nas fórmulas do cone e que vamos eliminar são: o raio da base do cone, que chamarei de r, e a geratriz (ou altura lateral) do cone, que chamarei de s.
    Objetivo: escrever V (volume) e A_{\text{lat}} (área lateral) somente em termos de h e R.

Passo 2

Fórmulas básicas do cone que vamos usar (aqui explico cada uma):
  • Volume do cone: a fórmula é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,
onde r é o raio da base do cone e h é a altura (distância do vértice ao centro da base). Essa fórmula vem de integrar áreas de círculos ou lembrar que um cone tem um terço do volume de um cilindro com mesma base e mesma altura.
  • Área lateral do cone (superfície lateral, sem a base): a fórmula é
A_{\text{lat}}=\pi r s,
onde s é a geratriz (slant height), isto é, a distância do vértice a qualquer ponto da circunferência da base. Geometricamente, s=\sqrt{r^{2}+h^{2}} pelo teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pela geratriz, a altura e o raio da base.

Passo 3

Relacionando a esfera circunscrita com o cone (explicando a posição do centro da esfera):
  • Coloco o vértice do cone em um ponto A e o centro da base do cone em B de modo que AB=h.
  • O centro da esfera circunscrita está sobre o eixo do cone, a uma distância c de A. Como o raio da esfera é R, a distância do centro da esfera até o vértice é R, logo c=R.
  • A esfera passa também por qualquer ponto do contorno da base. Portanto, a distância do centro da esfera até um ponto da circunferência da base (um ponto da borda da base) também vale R. Considerando o triângulo retângulo formado pelos pontos: vértice A, centro da base B e um ponto P da circunferência da base, obtemos a relação entre h, r, c:
(h-c)^{2}+r^{2}=c^{2}.
Essa equação diz que a distância do centro da esfera até um ponto da borda (diferença vertical h-c e deslocamento radial r) tem quadrado igual a c^{2}.

Passo 4

Substituo c=R na equação do passo anterior e resolvo para r^{2}:
(h-R)^{2}+r^{2}=R^{2}.
Expandindo e simplificando:
h^{2}-2hR+R^{2}+r^{2}=R^{2}\quad\Rightarrow\quad h^{2}-2hR+r^{2}=0.
Logo
r^{2}=2hR-h^{2}.
Interpretação: essa fórmula dá o raio da base (ao quadrado) do cone em função de h e R. Note que ela exige 2hR-h^{2}\ge 0, i.e. 0\le h\le 2R (casos extremos degenerados: h=0 ou h=2R).

Passo 5

Calculo a geratriz s em termos de h e R usando s=\sqrt{r^{2}+h^{2}}. Substituindo o r^{2} do passo anterior:
s=\sqrt{(2hR-h^{2})+h^{2}}=\sqrt{2hR}.
Então a geratriz simplifica muito: s=\sqrt{2hR}.

Passo 6

Agora substituo nas fórmulas do passo 2 para obter o volume em termos de h e R. Começo pelo volume:
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi(2hR-h^{2})h.
Fatorando:
V=\frac{1}{3}\pi\bigl(2h^{2}R-h^{3}\bigr)=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h).
Essa é a expressão do volume só com h e R.

Passo 7

Faço o mesmo para a área lateral. Usando A_{\text{lat}}=\pi r s e as expressões para r e s:
A_{\text{lat}}=\pi\sqrt{2hR-h^{2}}\;\sqrt{2hR}.
Multiplicando dentro da raiz e simplificando:
A_{\text{lat}}=\pi\sqrt{(2hR-h^{2})\cdot 2hR}=\pi\sqrt{h^{2}\cdot 2R(2R-h)}.
Tirando h fora da raiz (assumindo h\ge 0):
A_{\text{lat}}=\pi h\sqrt{2R(2R-h)}.
Também pode-se deixar como A_{\text{lat}}=\pi\sqrt{2hR}\sqrt{2hR-h^{2}}; ambas são equivalentes, mas a forma com fator h fora é mais compacta.

Passo 8

Condição de existência e observações finais rápidas:
  • Para o cone existir de forma usual, é preciso r^{2}\ge 0, isto é 2hR-h^{2}\ge 0, portanto 0\le h\le 2R.
  • Caso h=2R tem-se r=0 (cone degenerado em segmento). Caso h=0 o cone é degenerado (altura zero).

Resposta

V=\frac{1}{3}\pi h^{2}(2R-h)
A_{\text{lat}}=\pi h\sqrt{2R(2R-h)}

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