(3 Pontos) Cada integral da coluna esquerda é igual a apenas uma integral da coluna direita. Indique na coluna direita qual delas e escreva ao lado a substituição usada na forma
\left\{\begin{array}{l} u=f(x) \\\ d u=f^{\prime}(x) d x \end{array}\right.
  • Considere a>0 como sendo constante qualquer em todas as integrais.
  1. \int \frac{x^{2}}{a+x^{3}} d x.
    [] \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u.
  2. \int \cos ^{2}(x) \sin (x) d x.
    [] -\int u^{2} d u.
  3. \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x.
    [] \frac{1}{a} \int \frac{1}{1+u^{2}} d u.
  4. \int \sin ^{2}(x) \cos (x) d x.
    [] \int u^{2} d u.
  5. \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}} d x.
    []$\frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u} d u.

Passo 1

O enunciado pede: para cada integral da coluna esquerda (itens 1 a 5) identificar qual é a única integral equivalente da coluna direita e escrever, ao lado, a substituição usada na forma
\left\{\begin{array}{l} u=f(x)\\[4pt] d u=f'(x)\,d x \end{array}\right.
Foi informado que a>0 é constante. Lista das integrais dadas:
    1. \displaystyle \int \frac{x^{2}}{a+x^{3}}\,d x.
    1. \displaystyle \int \cos^{2}(x)\sin(x)\,d x.
    1. \displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,d x.
    1. \displaystyle \int \sin^{2}(x)\cos(x)\,d x.
    1. \displaystyle \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,d x.
As opções da coluna direita (reproduzidas) são:
  • \displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,d u.
  • \displaystyle -\int u^{2}\,d u.
  • \displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,d u.
  • \displaystyle \int u^{2}\,d u.
  • \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,d u.
No restante vou transformar cada integral por substituição (passo a passo) e mostrar qual opção corresponde.]

Passo 2

Item 1: \displaystyle \int \frac{x^{2}}{a+x^{3}}\,d x.
Ideia: reconhecer a+x^{3} no denominador e ver que sua derivada é proporcional a x^{2}. Isso sugere a substituição u=a+x^{3}.
Aplicando a regra de derivação:
\left\{\begin{array}{l} u = a + x^{3}\\[4pt] d u = 3x^{2}\,d x \end{array}\right.
Da segunda linha isolamos x^{2}\,d x = \dfrac{1}{3}\,d u. Substituindo na integral:
\int \frac{x^{2}}{a+x^{3}}\,d x = \int \frac{1}{u}\left(x^{2}\,d x\right) = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{3}\,d u = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,d u.
Portanto a integral do item 1 corresponde à opção \displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,d u.]

Passo 3

Item 2: \displaystyle \int \cos^{2}(x)\sin(x)\,d x.
Ideia: a presença de \sin(x)\,d x sugere tomar u=\cos(x), pois d(\cos x)=-\sin x\,dx.
Substituição:
\left\{\begin{array}{l} u=\cos(x)\\[4pt] d u=-\sin(x)\,d x \end{array}\right.
Isolando \sin(x)\,d x = -d u. Substituindo:
\int \cos^{2}(x)\sin(x)\,d x = \int u^{2}\cdot(-d u) = -\int u^{2}\,d u.
Logo o item 2 corresponde à opção \displaystyle -\int u^{2}\,d u.]

Passo 4

Item 3: \displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,d x.
Ideia: transformação padrão para a forma \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du é escalar a variável por a. Como a>0, defina u=\dfrac{x}{a} (equivalente a x=au).
Substituição:
\left\{\begin{array}{l} u=\dfrac{x}{a}\\[4pt] d u=\dfrac{1}{a}\,d x \end{array}\right.
De d u=\dfrac{1}{a}\,d x obtemos d x = a\,d u. Substituindo x=a u e d x:
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,d x = \int \frac{1}{a^{2}+a^{2}u^{2}}\cdot a\,d u = \int \frac{a}{a^{2}(1+u^{2})}\,d u = \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,d u.
Portanto o item 3 corresponde à opção \displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,d u.]

Passo 5

Item 4: \displaystyle \int \sin^{2}(x)\cos(x)\,d x.
Ideia: análogo ao item 2, agora \cos(x)\,d x é a derivada de \sin(x). Tomar u=\sin(x).
Substituição:
\left\{\begin{array}{l} u=\sin(x)\\[4pt] d u=\cos(x)\,d x \end{array}\right.
Assim \cos(x)\,d x = d u e a integral vira
\int \sin^{2}(x)\cos(x)\,d x = \int u^{2}\,d u.
Logo o item 4 corresponde à opção \displaystyle \int u^{2}\,d u.]

Passo 6

Item 5: \displaystyle \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,d x.
Ideia: a forma \dfrac{x^{3}}{1+x^{2}} não é imediatamente da forma f'(x)/f(x), então podemos reescrever para usar u=1+x^{2}. Note que x^{3}=x\cdot x^{2}=x\cdot(u-1) e d u=2x\,d x (então x\,d x=\tfrac{1}{2}\,d u).
Substituição:
\left\{\begin{array}{l} u=1+x^{2}\\[4pt] d u=2x\,d x \end{array}\right.
Reescrevendo a integral:
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,d x = \int \frac{x\,(x^{2})}{u}\,d x = \int \frac{x\,(u-1)}{u}\,d x.
Agora use x\,d x=\dfrac{1}{2}\,d u:
\int \frac{x\,(u-1)}{u}\,d x = \int \frac{u-1}{u}\left(x\,d x\right) = \int \frac{u-1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,d u = \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,d u.
Portanto o item 5 corresponde à opção \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,d u.]

Resposta

  1. \displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,d u\qquad \left\{\begin{array}{l} u=a+x^{3}\\[4pt] d u=3x^{2}\,d x \end{array}\right.
  2. \displaystyle -\int u^{2}\,d u\qquad \left\{\begin{array}{l} u=\cos(x)\\[4pt] d u=-\sin(x)\,d x \end{array}\right.
  3. \displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,d u\qquad \left\{\begin{array}{l} u=\dfrac{x}{a}\\[6pt] d u=\dfrac{1}{a}\,d x \end{array}\right.
  4. \displaystyle \int u^{2}\,d u\qquad \left\{\begin{array}{l} u=\sin(x)\\[4pt] d u=\cos(x)\,d x \end{array}\right.
  5. \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,d u\qquad \left\{\begin{array}{l} u=1+x^{2}\\[4pt] d u=2x\,d x \end{array}\right.]

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