(3 Pontos) Cada integral da coluna esquerda é igual a apenas uma integral da coluna direita. Indique na coluna direita qual delas e escreva ao lado a substituição usada na forma
\left\{\begin{array}{l} u=f(x) \\\ d u=f^{\prime}(x) d x \end{array}\right.
Considere a>0 como sendo constante qualquer em todas as integrais.
\int \frac{x^{2}}{a+x^{3}} d x.
[]\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u.
\int \cos ^{2}(x) \sin (x) d x.
[]-\int u^{2} d u.
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x.
[]\frac{1}{a} \int \frac{1}{1+u^{2}} d u.
\int \sin ^{2}(x) \cos (x) d x.
[]\int u^{2} d u.
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}} d x.
[]$\frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u} d u.
Passo 1
O enunciado pede: para cada integral da coluna esquerda (itens 1 a 5) identificar qual é a única integral equivalente da coluna direita e escrever, ao lado, a substituição usada na forma
\left\{\begin{array}{l} u=f(x)\\[4pt] d u=f'(x)\,d x \end{array}\right.
Foi informado que a>0 é constante. Lista das integrais dadas:
\displaystyle \int \frac{x^{2}}{a+x^{3}}\,d x.
\displaystyle \int \cos^{2}(x)\sin(x)\,d x.
\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,d x.
\displaystyle \int \sin^{2}(x)\cos(x)\,d x.
\displaystyle \int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,d x.
As opções da coluna direita (reproduzidas) são:
\displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,d u.
\displaystyle -\int u^{2}\,d u.
\displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,d u.
\displaystyle \int u^{2}\,d u.
\displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,d u.
No restante vou transformar cada integral por substituição (passo a passo) e mostrar qual opção corresponde.]
Ideia: transformação padrão para a forma \int \frac{1}{1+u^{2}}\,du é escalar a variável por a. Como a>0, defina u=\dfrac{x}{a} (equivalente a x=au).
Substituição:
\left\{\begin{array}{l} u=\dfrac{x}{a}\\[4pt] d u=\dfrac{1}{a}\,d x \end{array}\right.
De d u=\dfrac{1}{a}\,d x obtemos d x = a\,d u. Substituindo x=a u e d x:
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,d x = \int \frac{1}{a^{2}+a^{2}u^{2}}\cdot a\,d u = \int \frac{a}{a^{2}(1+u^{2})}\,d u = \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,d u.
Portanto o item 3 corresponde à opção \displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,d u.]
Ideia: a forma \dfrac{x^{3}}{1+x^{2}} não é imediatamente da forma f'(x)/f(x), então podemos reescrever para usar u=1+x^{2}. Note que x^{3}=x\cdot x^{2}=x\cdot(u-1) e d u=2x\,d x (então x\,d x=\tfrac{1}{2}\,d u).
Substituição:
\left\{\begin{array}{l} u=1+x^{2}\\[4pt] d u=2x\,d x \end{array}\right.
Reescrevendo a integral:
\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\,d x = \int \frac{x\,(x^{2})}{u}\,d x = \int \frac{x\,(u-1)}{u}\,d x.
Agora use x\,d x=\dfrac{1}{2}\,d u:
\int \frac{x\,(u-1)}{u}\,d x = \int \frac{u-1}{u}\left(x\,d x\right) = \int \frac{u-1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,d u = \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,d u.
Portanto o item 5 corresponde à opção \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,d u.]
Resposta
\displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,d u\qquad
\left\{\begin{array}{l}
u=a+x^{3}\\[4pt]
d u=3x^{2}\,d x
\end{array}\right.
\displaystyle -\int u^{2}\,d u\qquad
\left\{\begin{array}{l}
u=\cos(x)\\[4pt]
d u=-\sin(x)\,d x
\end{array}\right.
\displaystyle \frac{1}{a}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,d u\qquad
\left\{\begin{array}{l}
u=\dfrac{x}{a}\\[6pt]
d u=\dfrac{1}{a}\,d x
\end{array}\right.
\displaystyle \int u^{2}\,d u\qquad
\left\{\begin{array}{l}
u=\sin(x)\\[4pt]
d u=\cos(x)\,d x
\end{array}\right.
\displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{u-1}{u}\,d u\qquad
\left\{\begin{array}{l}
u=1+x^{2}\\[4pt]
d u=2x\,d x
\end{array}\right.]