Seja o operador definido por , então determine :
a) onde a base é onde a base é

Passo 1

O enunciado pede a matriz de um operador linear
;TcolonR^3toR^3, definida por
T(x,y,z)=(3x+z,;y+z,;-x+2y+3z),
em duas bases diferentes.
O conteúdo é representação matricial de transformações lineares, e vamos usar que, em qualquer base B=b1,b2,b3, a j-ésima coluna de [T]B é o vetor de coordenadas de T(bj) em relação a B.

Passo 2

Para a base canônica B=e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1), calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(3,0,-1), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,2), T(e3)=T(0,0,1)=(1,1,3)
Como essas imagens já estão no sistema canônico, a matriz fica
[T]B = 3 & 0 & 1 0 & 1 & 1 -1& 2 & 3

Passo 3

Agora tomamos a base B=v1,v2,v3 com
;v1=(1,0,1),;v2=(-1,2,1),;v3=(2,1,1). Primeiro calculamos
T(v1)=(4,1,2), T(v2)=(-2,3,8), T(v3)=(7,2,3)

Passo 4

Escrevemos cada
isto gera o sistema
cuja solução é
e obtemos os vetores de coordenadas
respectivamente.

Passo 5

As colunas de [T]B são essas coordenadas, logo
[T]B = 34 & 334 & tfrac12 -14& 134 & -tfrac12 32 & -72& 3

Resposta

(a)
[T]B = 3 & 0 & 1 0 & 1 & 1 -1& 2 & 3
(b)
[T]B = 34 & 334 & tfrac12 -14& 134 & -tfrac12 32 & -72& 3

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