Considere a circunferência circunscrita ao triângulo A B C. Seja A E um diâmetro dessa circunferência e A D a altura do triângulo. Sendo A B=6 \mathrm{~cm}, A C=10 \mathrm{~cm} e A E=30 \mathrm{~cm}, calcule A D.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo A B C inscrito numa circunferência. Foi informado que A E é um diâmetro dessa circunferência e que A D é a altura do triângulo relativa ao lado B C. Os dados numéricos são:
A B=6\\ \text{cm},\qquad A C=10\\ \text{cm},\qquad A E=30\\ \text{cm}.
A pergunta clara é: calcular o comprimento de A D.

Passo 2

Primeiro vamos extrair o raio da circunferência a partir do diâmetro. Se A E é um diâmetro, então o raio R é a metade de A E. Logo:
R=\frac{A E}{2}=\frac{30}{2}=15\\ \text{cm}.
Isto significa que a circunferência circunscrita ao triângulo tem raio 15\\ \text{cm}.

Passo 3

Definimos convenções de notação para organizar as fórmulas:
a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB.
Do enunciado temos b=10 e c=6. A altura que queremos é A D, que é a distância do vértice A até a reta que contém B C.

Passo 4

Vamos relacionar a altura A D com a área do triângulo. Se S é a área de \triangle ABC, então usando a como base temos a fórmula clássica:
S=\frac{1}{2}\,a\cdot A D.
Também podemos expressar a área usando dois lados e o seno do ângulo entre eles:
S=\frac{1}{2}\,b\,c\,\sin A,
onde A é o ângulo no vértice A.

Passo 5

Precisamos de uma relação que envolva \sin A e o raio R. Pelo teorema dos senos (ou relação entre lado e circunferência circunscrita) temos:
\frac{a}{\sin A}=2R \quad\Longrightarrow\quad \sin A=\frac{a}{2R}.
Substituindo \sin A em S=\frac{1}{2}bc\sin A obtemos:
S=\frac{1}{2}\,b\,c\cdot\frac{a}{2R}=\frac{a b c}{4R}.
Esta é uma fórmula útil: a área do triângulo em função dos três lados e do raio da circunferência circunscrita.

Passo 6

Agora igualamos as duas expressões para S e isolamos A D. Temos
\frac{1}{2}\,a\cdot A D = \frac{a b c}{4R}.
Dividindo ambos os lados por \tfrac{1}{2}a (assumindo a\neq0), obtemos
A D=\frac{2}{a}\cdot\frac{a b c}{4R}=\frac{b c}{2R}.
Portanto a altura A D pode ser calculada diretamente por
A D=\frac{b c}{2R}.
Note que a desaparece: não precisamos conhecer B C para achar A D, basta os dois lados que saem de A e o raio.

Passo 7

Substituímos os valores numéricos fornecidos: b=10, c=6 e R=15:
A D=\frac{10\cdot 6}{2\cdot 15}=\frac{60}{30}=2.
Portanto a altura pedida vale 2 (unidade em centímetros, conforme os dados).

Resposta

2\\ \text{cm}

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