Considere a circunferência circunscrita ao triângulo
. Seja
um diâmetro dessa circunferência e
a altura do triângulo. Sendo
e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
inscrito numa circunferência. Foi informado que
é um diâmetro dessa circunferência e que
é a altura do triângulo relativa ao lado
. Os dados numéricos são:
A pergunta clara é: calcular o comprimento de
.
Passo 2
Primeiro vamos extrair o raio da circunferência a partir do diâmetro. Se
é um diâmetro, então o raio
é a metade de
. Logo:
Isto significa que a circunferência circunscrita ao triângulo tem raio
.
Passo 3
Definimos convenções de notação para organizar as fórmulas:
Do enunciado temos
e
. A altura que queremos é
, que é a distância do vértice
até a reta que contém
.
Passo 4
Vamos relacionar a altura
com a área do triângulo. Se
é a área de
, então usando
como base temos a fórmula clássica:
Também podemos expressar a área usando dois lados e o seno do ângulo entre eles:
onde
é o ângulo no vértice
.
Passo 5
Precisamos de uma relação que envolva
e o raio
. Pelo teorema dos senos (ou relação entre lado e circunferência circunscrita) temos:
Substituindo
em
obtemos:
Esta é uma fórmula útil: a área do triângulo em função dos três lados e do raio da circunferência circunscrita.
Passo 6
Agora igualamos as duas expressões para
e isolamos
. Temos
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
), obtemos
Portanto a altura
pode ser calculada diretamente por
Note que
desaparece: não precisamos conhecer
para achar
, basta os dois lados que saem de
e o raio.
Passo 7
Substituímos os valores numéricos fornecidos:
,
e
:
Portanto a altura pedida vale
(unidade em centímetros, conforme os dados).