Calcule o raio de convergência R da série de potências sumn=0^infty an z^n, onde an é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola B(0, R) a função f(z)=sumn=0^infty an z^n é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
d) an=n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos calcular o raio de convergência da série de potências , onde . O conceito aqui vem de séries de potências, que nos dizem em que região a série converge. Para isso, a gente vai usar o Teste da Razão, que é uma das ferramentas que temos para encontrar esse raio .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que:
1R = limn to infty | an+1an |
Então, precisamos calcular esse limite usando a expressão dos coeficientes .

Passo 3

Vamos substituir an = n!n^n e an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1 e an+1an = (n+1)!(n+1)^n+1 cdot n^nn! na fórmula. Temos:
Substituindo na razão:

Passo 4

Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limn to infty ( nn+1 )^n cdot 1n+1 tende ao infinito:
limn to infty ( 1e cdot 0 ) = 0
Sabemos que tende a quando vai para o infinito. Além disso, tende a 0. Então, multiplicando:

Passo 6

Com o limite encontrado, temos que:
1R = 0 Rightarrow R = infty
Isso significa que a série converge para todo no plano complexo.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, ou seja, .

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