Calcule o raio de convergência R da série de potências sumn=0^infty an z^n, onde an é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola B(0, R) a função f(z)=sumn=0^infty an z^n é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
g) an=n^24^n+3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o raio de convergência da série de potências , onde cada termo é dado por . O raio de convergência nos diz até onde a série converge, ou seja, dentro de qual intervalo em torno de zero a série funciona bem. Para isso, vamos usar um teste padrão de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para encontrar o raio de convergência R = limn to infty | anan+1 | , podemos usar o Teste da Razão. Esse teste é super útil para séries de potências e funciona assim:
Esse limite nos dá o valor do raio de convergência , onde a série converge quando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Temos:
anan+1 = n^24^n + 3n(n+1)^24^n+1 + 3(n+1)
Vamos simplificar essa expressão:
anan+1 = n^24^n + 3n cdot 4^n+1 + 3(n+1)(n+1)^2 = n^2 cdot (4 cdot 4^n + 3n + 3)(4^n + 3n) cdot (n+1)^2
Agora, quando anan+1 approx n^2 cdot 4 cdot 4^n4^n cdot (n+1)^2 = 4n^2(n+1)^2 fica muito grande, os termos dominantes são limn to infty 4n^2(n+1)^2 = limn to infty 4(1 + 1n)^2 = 4 no denominador e no numerador. Então, podemos aproximar:
Simplificando mais:

Resposta

O raio de convergência da série é igual a .

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