Calcule o raio de convergência da série de potências , onde é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola a função é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o raio de convergência da série de potências , onde cada termo é dado por . O raio de convergência nos diz até onde a série converge, ou seja, dentro de qual intervalo em torno de zero a série funciona bem. Para isso, vamos usar um teste padrão de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para encontrar o raio de convergência , podemos usar o Teste da Razão. Esse teste é super útil para séries de potências e funciona assim:
Esse limite nos dá o valor do raio de convergência , onde a série converge quando .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Temos:
Agora, quando anan+1 approx n^2 cdot 4 cdot 4^n4^n cdot (n+1)^2 = 4n^2(n+1)^2 fica muito grande, os termos dominantes são limn to infty 4n^2(n+1)^2 = limn to infty 4(1 + 1n)^2 = 4 no denominador e no numerador. Então, podemos aproximar: