Prove as seguintes propriedades da exponencial complexa:
a)
(Dica: para evitar a definição de exponencial via série de potências e precisar rearranjar a série, faça o seguinte: defina
, mostre que
, portanto pelo Exercício 2 e) segue que
é constante. Mostre que
é exatamente
. Para finalizar, basta tomar
).
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para números complexos
e
, vale a propriedade
. Estamos lidando com funções exponenciais no contexto dos números complexos. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de derivadas e funções constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função auxiliar para facilitar a prova. Vamos chamar essa função de
:
Aqui,
é um número complexo fixo. Nosso objetivo é mostrar que essa função
é constante, ou seja, não depende de
.
Passo 3
Para mostrar que
é constante, vamos calcular a derivada dessa função em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, temos:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, derivamos cada parte:
Passo 4
Encontramos que
, o que significa que a função
não varia com
e, portanto, é constante. Ou seja:
Onde
é uma constante que não depende de
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o valor dessa constante
. Para isso, vamos escolher um valor específico para
. Vamos pegar
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos escrever:
Vamos reorganizar essa equação para isolar
. Escolha
:
Simplificando:
Resposta
Assim, provamos que
, como queríamos mostrar.