Prove as seguintes propriedades da exponencial complexa:
a) e^(z+w) = e^z * e^w (Dica: para evitar a definição de exponencial via série de potências e precisar rearranjar a série, faça o seguinte: defina f(z) = e^z * e^(a - z), mostre que f'(z) = 0, portanto pelo Exercício 2 e) segue que f(z) = k é constante. Mostre que k é exatamente e^a. Para finalizar, basta tomar a = z + w ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para números complexos e , vale a propriedade . Estamos lidando com funções exponenciais no contexto dos números complexos. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de derivadas e funções constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função auxiliar para facilitar a prova. Vamos chamar essa função de :
Aqui, é um número complexo fixo. Nosso objetivo é mostrar que essa função é constante, ou seja, não depende de .

Passo 3

Para mostrar que é constante, vamos calcular a derivada dessa função em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é , temos:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, derivamos cada parte:

Passo 4

Encontramos que , o que significa que a função não varia com e, portanto, é constante. Ou seja:
Onde é uma constante que não depende de .

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor dessa constante . Para isso, vamos escolher um valor específico para . Vamos pegar :
Portanto, .

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos escrever:
Vamos reorganizar essa equação para isolar . Escolha :
Simplificando:

Resposta

Assim, provamos que , como queríamos mostrar.

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