(ENADE 2011) Considere
uma função diferenciável e suponha que
define implicitamente funções não nulas e diferenciáveis
,
e
. Nessa situação, analise as afirmações abaixo.
É correto o que se afirma em:
(a) II, apenas.
(b) III, apenas. © I e II, apenas.
(d) I e III, apenas.
(e) I, II e III.
(a) II, apenas.
(b) III, apenas. © I e II, apenas.
(d) I e III, apenas.
(e) I, II e III.
Passo 1
Vamos lá! Você me enviou uma questão de cálculo envolvendo funções implícitas e derivadas parciais. O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia em funções implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Afirmação I:
Essa expressão representa a definição da derivada parcial de
em relação a
usando o limite. Isso está correto porque, por definição, a derivada parcial mede exatamente essa taxa de variação.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
Se
, então:
Aqui, estamos utilizando a diferenciação implícita. Quando temos uma função
, podemos derivar ambos os lados em relação a
:
Portanto, a afirmação II está correta.
Passo 4
Vamos agora examinar a Afirmação III:
Essa expressão sugere uma relação cíclica entre as derivadas parciais. Na verdade, para três variáveis interdependentes, a regra correta é:
Portanto, a afirmação III está incorreta porque o produto das derivadas parciais deveria ser igual a -1, e não a 1.
Resposta
© I e II, apenas.