(ENADE 2011) Considere F: R 3 R uma função diferenciável e suponha que F(x, y, z)=0 define implicitamente funções não nulas e diferenciáveis z=f(x, y), y=g(x, z) e x=h(y, z). Nessa situação, analise as afirmações abaixo.
& I partial zpartial x=lim Deã
É correto o que se afirma em:
(a) II, apenas.
(b) III, apenas. © I e II, apenas.
(d) I e III, apenas.
(e) I, II e III.

Passo 1

Vamos lá! Você me enviou uma questão de cálculo envolvendo funções implícitas e derivadas parciais. O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia em funções implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Afirmação I:
partial zpartial x = limDe
Essa expressão representa a definição da derivada parcial de em relação a usando o limite. Isso está correto porque, por definição, a derivada parcial mede exatamente essa taxa de variação.

Passo 3

Agora, vamos para a Afirmação II:
Se partial zpartial x = -Fx(x, y, z)Fz(x, y, z) , então:
Fx + Fz partial zpartial x = 0 implies partial zpartial x = -FxFz
Aqui, estamos utilizando a diferenciação implícita. Quando temos uma função , podemos derivar ambos os lados em relação a :
Portanto, a afirmação II está correta.

Passo 4

Vamos agora examinar a Afirmação III:
partial zpartial x cdot partial xpartial y cdot partial ypartial z = 1
Essa expressão sugere uma relação cíclica entre as derivadas parciais. Na verdade, para três variáveis interdependentes, a regra correta é:
partial zpartial x cdot partial xpartial y cdot partial ypartial z = -1
Portanto, a afirmação III está incorreta porque o produto das derivadas parciais deveria ser igual a -1, e não a 1.

Resposta

© I e II, apenas.

Exercícios relacionados