a) Calcule o raio de convergência da série de potências 1+sumk=1^infty(-1)^k x^k.
b) Usando que 11+x=1+sumk=1^infty(-1)^k x^k, calcule a série de potências da função ln (1+x) e o raio de convergência dessa série de potências.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar o raio de convergência da série de potências 1 + ∑_{k=1}^∞ (-1)^k x^k, que é um caso de série geométrica, e (b) usar a expansão 1/(1+x)=1+∑_{k=1}∞(-1)k x^k para obter a série de potências de ln(1+x) e determinar seu raio de convergência.

Passo 2

Para (a), note que a série é 1 + ∑_{k=1}^∞ a_k x^k com a_k = (-1)^k. Usamos o teste da razão: calculemos lim_{k→∞} |a_{k+1}/a_k|. Temos
|ak+1/ak| = |(-1)^k+1/(-1)^k| = 1
Pelo teste da razão, o raio de convergência R satisfaz
1R = limk→∞ |ak+1/ak| = 1, logo R = 1.

Passo 3

Para (b), sabendo que 1/(1+x) = sumk=0^infty (-1)^k x^k, podemos integrar termo a termo a partir de 0 até x, já que a integração preserva raio de convergência interior:
ln(1+x) = integral0^x 11+t ,dt = integral0^x sumk=0^infty (-1)^k t^k ,dt = sumk=0^infty (-1)^k integral0^x t^k ,dt
Cada termo integrado dá
integral0^x t^k ,dt = x^k+1k+1 Logo
ln(1+x) = sumk=0^infty (-1)^k x^k+1k+1 Reindexando com n=k+1, obtemos
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn

Passo 4

O raio de convergência dessa série é o mesmo da série integranda, ou seja R = 1.

Resposta

a) O raio de convergência é R = 1.
b) A expansão em série de potências é
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn,
com raio de convergência R = 1.

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