a) Calcule o raio de convergência da série de potências
.
b) Usando que
, calcule a série de potências da função
e o raio de convergência dessa série de potências.
b) Usando que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar o raio de convergência da série de potências 1 + ∑_{k=1}^∞ (-1)^k x^k, que é um caso de série geométrica, e (b) usar a expansão 1/(1+x)=1+∑_{k=1}∞(-1)k x^k para obter a série de potências de ln(1+x) e determinar seu raio de convergência.
Passo 2
Para (a), note que a série é 1 + ∑_{k=1}^∞ a_k x^k com a_k = (-1)^k. Usamos o teste da razão: calculemos lim_{k→∞} |a_{k+1}/a_k|. Temos
Pelo teste da razão, o raio de convergência R satisfaz
Passo 3
Para (b), sabendo que
, podemos integrar termo a termo a partir de 0 até x, já que a integração preserva raio de convergência interior:
Cada termo integrado dá
Passo 4
O raio de convergência dessa série é o mesmo da série integranda, ou seja R = 1.
Resposta
a) O raio de convergência é R = 1.
b) A expansão em série de potências é
b) A expansão em série de potências é
com raio de convergência R = 1.