Dê um exemplo de uma série convergente
tal que
para cada
e
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de série numérica convergente
com
e cujo resto satisfaça
. Aqui o conteúdo é convergência de séries e estimativa de resto (erro de truncamento).
Passo 2
Uma escolha natural é usar uma série geométrica, pois sabemos que para
a série
converge e seu resto tem fórmula fechada. Definimos
que satisfaz
e é uma série geométrica de razão
.
Passo 3
Vamos calcular a soma total
e o resto após
termos. Primeiro,
O resto é
Assim, de fato
.
Resposta
Por exemplo, escolha
. Então a série converge a
e satisfaz
.