Dê um exemplo de uma série convergente S:=sumk=1^infty ak tal que k para cada Sn:=sumk=1^n ak e , onde .

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de série numérica convergente S=sumk=1^infty ak com |ak|>0 e cujo resto satisfaça |S-Sn|<=1/2^n+1. Aqui o conteúdo é convergência de séries e estimativa de resto (erro de truncamento).

Passo 2

Uma escolha natural é usar uma série geométrica, pois sabemos que para |q|<1 a série sum q^k converge e seu resto tem fórmula fechada. Definimos
ak = 12^k+1,
que satisfaz |ak|>0 e é uma série geométrica de razão q=1/2.

Passo 3

Vamos calcular a soma total S e o resto após n termos. Primeiro,
S = sumk=1^infty 12^k+1 = 12^2 + 12^3 + cdots = 1/41-1/2 = 12
O resto é
S - Sn = sumk=n+1^infty 12^k+1 = 1/2^n+21-1/2 = 12^n+1
Assim, de fato |S-Sn|=1/2^n+1<=1/2^n+1.

Resposta

Por exemplo, escolha ak=1/2^k+1. Então a série converge a S=1/2 e satisfaz |S-Sn|=1/2^n+1<=1/2^n+1.

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