Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut
é uma família de retas da forma
, em que
é uma constante arbitrária e uma solução singular
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Clairaut
ou seja, é um problema de EDO de Clairaut, cuja forma geral é
Precisamos encontrar a solução geral (família de retas) e a solução singular (envelope dessa família).
Passo 2
Na equação de Clairaut a gente faz a troca
. Então a equação vira
Aqui
, ou seja
Isso explica de onde vem a família de retas.
Passo 3
Para achar a solução geral, basta reconhecer que em Clairaut a família é
substituindo
, obtemos
onde
é a constante arbitrária (o valor de
).
Passo 4
Agora a singular vem do envelope dessa família. Para isso diferenciamos em relação a
e impomos
Fazendo a derivada:
Logo
e daí
Passo 5
Finalmente, substituímos
na expressão
. Isso dá
Agrupando potências:
Essa é a solução singular (envelope).
Resposta
Solução geral:
. Solução singular:
.