Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut y=x y^prime+f(y^prime) é uma família de retas da forma y=c x+f(c), em que c é uma constante arbitrária e uma solução singular
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
y=x y^prime+(y^prime)^-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Clairaut
y = x,y'+l(y'r)^-2
ou seja, é um problema de EDO de Clairaut, cuja forma geral é
y = x,y' + fl(y'r)
Precisamos encontrar a solução geral (família de retas) e a solução singular (envelope dessa família).

Passo 2

Na equação de Clairaut a gente faz a troca p = y'. Então a equação vira
y = x,p + f(p)
Aqui f(p)=p^-2, ou seja
y = x,p + p^-2
Isso explica de onde vem a família de retas.

Passo 3

Para achar a solução geral, basta reconhecer que em Clairaut a família é
y = c,x + f(c)
substituindo f(c)=c^-2, obtemos
y = c,x + c^-2,
onde c é a constante arbitrária (o valor de p).

Passo 4

Agora a singular vem do envelope dessa família. Para isso diferenciamos em relação a c e impomos
partialpartial cl(c,x + c^-2r)=0
Fazendo a derivada:
x - 2,c^-3=0
Logo
x = 2,c^-3
e daí

Passo 5

Finalmente, substituímos c=(2/x)^1/3 na expressão y=cx+c^-2. Isso dá
y = x,(2/x)^1/3 + (2/x)^-2/3
Agrupando potências:
y = 2^1/3x^2/3 + 2^-2/3x^2/3 = 3,2^-2/3,x^2/3
Essa é a solução singular (envelope).

Resposta

Solução geral: y = c,x + c^-2. Solução singular: y = 3,2^-2/3,x^2/3.

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