Calcule a raiz das funções abaixo, com precisão de \left|x_{n+1}-x_{n}\right|<0,01(\varepsilon<0,01), usando o método da bissecção, no intervalo dado.
f(x)=x^{3}-10 \quad(2,3)

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache a raiz da função
f(x)=x^{3}-10
no intervalo [2,3] usando o método da bissecção, até que a diferença entre duas aproximações sucessivas satisfaça
\lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<0,01.
Para isso precisamos de f contínua em [2,3] e de um ponto a e b tais que f(a)\cdot f(b)<0.

Passo 2

Verificamos os valores em a=2 e b=3:
f(2)=2^{3}-10=-2,\quad f(3)=3^{3}-10=17,
logo f(2)\cdot f(3)=-34<0, há mudança de sinal e uma raiz em [2,3].

Passo 3

No método da bissecção, a cada iteração tomamos
x_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},
avaliamos f(x_{n}) e escolhemos o subintervalo [a_{n},b_{n}] onde há mudança de sinal. Paramos quando \lvert x_{n}-x_{n-1}\rvert<0,01.

Passo 4

Fazendo as iterações até satisfazer o critério:
Iteração 1: [a_{0},b_{0}]=[2,3],
x_{1}=2{,}5,\quad f(x_{1})=5{,}625>0\quad\Rightarrow\quad[a_{1},b_{1}]=[2,2{,}5].
Iteração 2: [2,2{,}5],
x_{2}=2{,}25,\quad f(x_{2})=1{,}390625>0\quad\Rightarrow\quad[a_{2},b_{2}]=[2,2{,}25].
Iteração 3: [2,2{,}25],
x_{3}=2{,}125,\quad f(x_{3})=-0{,}45459<0\quad\Rightarrow\quad[a_{3},b_{3}]=[2{,}125,2{,}25].
Iteração 4: [2{,}125,2{,}25],
x_{4}=2{,}1875,\quad f(x_{4})=0{,}46753>0\quad\Rightarrow\quad[a_{4},b_{4}]=[2{,}125,2{,}1875].
Iteração 5: [2{,}125,2{,}1875],
x_{5}=2{,}15625,\quad f(x_{5})=0{,}02783>0\quad\Rightarrow\quad[a_{5},b_{5}]=[2{,}125,2{,}15625].
Iteração 6: [2{,}125,2{,}15625],
x_{6}=2{,}140625,\quad f(x_{6})=-0{,}1901<0\quad\Rightarrow\quad[a_{6},b_{6}]=[2{,}140625,2{,}15625].
Iteração 7: [2{,}140625,2{,}15625],
x_{7}=2{,}1484375,\quad |x_{7}-x_{6}|=0{,}0078125<0{,}01,
logo paramos.

Resposta

A raiz aproximada pela bissecção com \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<0,01 é
x\approx 2{,}1484.

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