Encontre os máximos e mínimos absolutos das seguintes funções, nos intervalos dados:
f(x)=\ln \left(x^{2}+4\right) em [-1,2]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x)=\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) em [-1,2]. Como a função é contínua num intervalo fechado, os candidatos a extremos são os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe) e os extremos do intervalo. Vamos então calcular a derivada, achar os pontos críticos e comparar os valores de f em cada um.

Passo 2

Calcular a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}+4\bigr) =\frac{1}{x^{2}+4}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+4}.
Esse quociente só é zero quando o numerador é zero, ou seja, 2x=0, de onde x=0. A derivada existe para todo x, então o único ponto crítico em [-1,2] é x=0.

Passo 3

Avaliar f nos pontos candidatos:
f(-1)=\ln\bigl((-1)^{2}+4\bigr)=\ln(5),
f(0)=\ln\bigl(0^{2}+4\bigr)=\ln(4),
f(2)=\ln\bigl(2^{2}+4\bigr)=\ln(8).

Passo 4

Comparando valores: \ln(4)<\ln(5)<\ln(8). Logo o menor valor de f ocorre em x=0 e o maior em x=2.

Resposta

O mínimo absoluto é f(0)=\ln(4).
O máximo absoluto é f(2)=\ln(8).

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