Use o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^{-3} para os seguintes problemas:
x^{3}-2 x^{2}-5=0 em [1,4]

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a raiz da equação x^3 - 2x^2 - 5 = 0 no intervalo [1,4] usando o método de Newton até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-3}. Vamos precisar da função f(x), de sua derivada f'(x) e da iteração
x_{n+1}=x_n \;-\;\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^3-2x^2-5, \quad f'(x)=3x^2-4x.
Como a raiz se localiza entre 2 e 3 (pois f(2)=-5<0 e f(3)=4>0), escolhemos x_0=3.

Passo 3

Primeira iteração n=0:
f(3)=27-18-5=4, \quad f'(3)=27-12=15, \quad x_1=3-\frac{4}{15}\approx 2{,}7333.

Passo 4

Segunda iteração n=1:
f(2{,}7333)\approx (2{,}7333)^3-2\,(2{,}7333)^2-5\approx 0{,}501, \quad f'(2{,}7333)\approx 11{,}483, \quad x_2=2{,}7333-\frac{0{,}501}{11{,}483}\approx 2{,}6897.

Passo 5

Terceira iteração n=2:
f(2{,}6897)\approx -0{,}007, \quad f'(2{,}6897)\approx 10{,}948, \quad x_3=2{,}6897-\frac{-0{,}007}{10{,}948}\approx 2{,}6903.
Verificamos \lvert x_3 - x_2\rvert\approx 0{,}0006<10^{-3}, portanto parámos aqui.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx 2{,}690.

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