Calcule a raiz das funções abaixo, com precisão de \left|x_{n+1}-x_{n}\right|<0,01(\varepsilon<0,01), usando o método da bissecção, no intervalo dado.
f(x)=x e^{-x}-e^{-3} \quad(0,1)

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=x e^{-x}-e^{-3}
no intervalo (0,1) usando o método da bissecção com critério de parada \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|<0,01. Vamos aplicar o método de forma iterativa, sempre mantendo um intervalo [a_n,b_n] onde f(a_n) e f(b_n) têm sinais opostos.

Passo 2

Cheque inicial dos sinais em a_0=0 e b_0=1:
f(0)=0\cdot e^{0}-e^{-3}=-e^{-3}\approx-0,0498
f(1)=1\cdot e^{-1}-e^{-3}=e^{-1}-e^{-3}\approx0,3181
Como f(0)<0 e f(1)>0, há raiz em [0,1].

Passo 3

1ª iteração:
m_1=\frac{0+1}{2}=0,5
f(m_1)=0,5\,e^{-0,5}-e^{-3}\approx0,2535>0
Como f(0)<0 e f(m_1)>0, a raiz está em [0,0,5]. Definimos a_1=0, b_1=0,5.

Passo 4

2ª iteração:
m_2=\frac{0+0,5}{2}=0,25
f(m_2)=0,25\,e^{-0,25}-e^{-3}\approx0,1449>0
Como f(0)<0 e f(m_2)>0, a raiz está em [0,0,25]. Definimos a_2=0, b_2=0,25.

Passo 5

3ª iteração:
m_3=\frac{0+0,25}{2}=0,125
f(m_3)=0,125\,e^{-0,125}-e^{-3}\approx0,0605>0
A raiz está em [0,0,125]. Definimos a_3=0, b_3=0,125.

Passo 6

4ª iteração:
m_4=\frac{0+0,125}{2}=0,0625
f(m_4)=0,0625\,e^{-0,0625}-e^{-3}\approx0,0089>0
A raiz está em [0,0,0625]. Definimos a_4=0, b_4=0,0625.

Passo 7

5ª iteração:
m_5=\frac{0+0,0625}{2}=0,03125
f(m_5)=0,03125\,e^{-0,03125}-e^{-3}\approx-0,0195<0
Agora f(m_5)<0 e f(b_4)>0, logo a raiz está em [0,03125,0,0625]. Definimos a_5=0,03125, b_5=0,0625.

Passo 8

6ª iteração:
m_6=\frac{0,03125+0,0625}{2}=0,046875
f(m_6)=0,046875\,e^{-0,046875}-e^{-3}\approx-0,0051<0
A raiz está em [0,046875,0,0625]. Definimos a_6=0,046875, b_6=0,0625.
Diferença \bigl|m_6-m_5\bigr|=0,015625>0,01, continua.

Passo 9

7ª iteração:
m_7=\frac{0,046875+0,0625}{2}=0,0546875
f(m_7)=0,0546875\,e^{-0,0546875}-e^{-3}\approx0,0020>0
A raiz está em [0,046875,0,0546875].
Agora
\bigl|m_7-m_6\bigr|=0,0546875-0,046875=0,0078125<0,01
atendendo ao critério de parada.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx0,0546875.

Exercícios relacionados