Calcule:
raiz[3]-11-2 i

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a raiz cúbica de um número complexo, especificamente raiz[3]-11 - 2i. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos, como forma polar e propriedades das raízes de números complexos.

Passo 2

Vamos começar convertendo o número complexo -11 - 2i para a forma polar. Um número complexo na forma retangular a + bi pode ser representado na forma polar como , onde:
  • r(cos theta + i sen theta) é o módulo do número complexo, calculado por r.
  • r = raiza^2 + b^2 é o argumento do número complexo, calculado por theta.

Passo 3

Calculando o módulo r:
r = raiz(-11)^2 + (-2)^2 = raiz121 + 4 = raiz125 = 5raiz5

Passo 4

Agora, vamos calcular o argumento theta. Como ambos os componentes são negativos, o número está no terceiro quadrante. Então:
theta = pi + tan^-1(211)
Calculando tan^-1(211), temos aproximadamente 0,1799 radianos. Portanto:
theta approx pi + 0,1799 approx 3,3215 radianos

Passo 5

Agora que temos r e theta, podemos escrever o número complexo na forma polar:

Passo 6

Para encontrar as raízes cúbicas de um número complexo na forma polar, usamos a fórmula:
Aqui, raiz[3]r ( cos ( theta + 2pi k3 ) + i sen ( theta + 2pi k3 ) ), k = 0, 1, 2 .

Passo 7

Agora, calculamos os três valores de k:
  1. Para k = 0:
theta0 = 3,3215 + 2pi cdot 03 = 3,32153 approx 1,1072 radianos
  1. Para z0 = raiz5 ( cos 1,1072 + i sen 1,1072 ) approx 1 + 2i :
k = 1
  1. Para theta1 = 3,3215 + 2pi cdot 13 = 3,3215 + 6,28323 approx 3,2015 radianos :
z1 = raiz5 ( cos 3,2015 + i sen 3,2015 ) approx -2 + i

Resposta

As três raízes cúbicas de -11 - 2i são aproximadamente:
1 + 2i, -2 + i, e 1 - 2i

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