Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para investigar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito), vamos seguir alguns passos básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o formato da função que estamos integrando:
. Essa é uma função conhecida e está relacionada à função arco-tangente. Sabemos que a integral de
é
.
Passo 3
Como os limites de integração são de 0 a infinito, precisamos calcular o limite quando
tende a infinito. Ou seja, vamos escrever a integral como um limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a
:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o limite de
quando
tende a infinito:
Sabemos que a função arco-tangente se aproxima de
quando
tende a infinito.
Passo 6
Portanto, temos:
Resposta
A integral imprópria
converge e o valor dela é
.