Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(b) integral0^infty 11+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria integral0^infty 11+x^2 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais impróprias que envolvem limites infinitos. Para investigar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito), vamos seguir alguns passos básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o formato da função que estamos integrando: 11+x^2. Essa é uma função conhecida e está relacionada à função arco-tangente. Sabemos que a integral de 11+x^2 é arctan(x).

Passo 3

Como os limites de integração são de 0 a infinito, precisamos calcular o limite quando x tende a infinito. Ou seja, vamos escrever a integral como um limite:
integral0^infty 11+x^2 , dx = limb to infty integral0^b 11+x^2 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a b:
integral0^b 11+x^2 , dx = arctan(b) - arctan(0)
Sabemos que arctan(0) = 0, então simplificando:
arctan(b) - 0 = arctan(b)

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite de arctan(b) quando b tende a infinito:
limb to infty arctan(b)
Sabemos que a função arco-tangente se aproxima de pi2 quando x tende a infinito.

Passo 6

Portanto, temos:
limb to infty arctan(b) = pi2

Resposta

A integral imprópria integral0^infty 11+x^2 , dx converge e o valor dela é pi2.

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