Usando o método de integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas.
© integral x cos (k x) d x, k=1,2,3, ldots

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida integral xcos(kx),dx usando o método de integração por partes.

Passo 2

A técnica de integração por partes se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Aqui queremos escolher u de forma que du seja mais simples e dv de forma que possamos encontrar facilmente v.

Passo 3

Escolhemos u = x e dv = cos(kx),dx. Dessa forma, calculamos as derivadas e antiderivadas necessárias:
  • du = dx.
  • v = integral cos(kx),dx = 1ksin(kx), pois a derivada de sin(kx) é kcos(kx).

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral xcos(kx),dx = u,v - integral v,du = xcdot1ksin(kx) - integral 1ksin(kx),dx

Passo 5

Agora, calculemos a integral restante:
integral sin(kx),dx = -1kcos(kx), então
-integral 1ksin(kx),dx = -1kl(-1kcos(kx)r) = 1k^2cos(kx)

Passo 6

Juntando tudo, obtemos
integral xcos(kx),dx = xksin(kx) + 1k^2cos(kx) + C, onde C é a constante de integração.

Resposta

xksin(kx) + 1k^2cos(kx) + C

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