Considere o campo vetorial
dado por
Calcule a integral de linha
onde
é parametrizada por
Passo 1
Estamos lidando com uma integral de linha de um campo vetorial em
. O conteúdo é identificar se o campo é conservativo e, se for, usar uma potencial para calcular
de forma rápida. Vamos precisar verificar as derivadas parciais cruzadas e achar a função potencial
.
Passo 2
Primeiro, verificamos se
é conservativo, conferindo as derivadas cruzadas:
Calculamos:
Como todas as derivadas cruzadas coincidem, o campo é conservativo.
Passo 3
Agora construímos a função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Depois, impomos
:
Logo
Por fim, de
obtemos
, ou seja,
constante. Assim,
Passo 4
Para calcular a integral, usamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
. Temos
Então
Portanto a integral é
.
Resposta
1