Considere o campo vetorial F: R^3 R^3 dado por
F(x, y, z)=sen(pi y) i+(pi x cos (pi y)-2 y cos (pi z)) j+pi y^2 sen(pi z) k
Calcule a integral de linha
integralgamma F(x, y, z) d r
onde gamma:[0,1] R^3 é parametrizada por
gamma(t)=(t e^1-t, t cos ((1-t) pi), t^2)

Passo 1

Estamos lidando com uma integral de linha de um campo vetorial em R^3. O conteúdo é identificar se o campo é conservativo e, se for, usar uma potencial para calcular integralgamma vec Fcdot dvec r de forma rápida. Vamos precisar verificar as derivadas parciais cruzadas e achar a função potencial f(x,y,z).

Passo 2

Primeiro, verificamos se vec F=(F1,F2,F3) é conservativo, conferindo as derivadas cruzadas:
F1=sin(pi y), F2=pi xcos(pi y)-2ycos(pi z), F3=pi y^2sin(pi z)
Calculamos:
partial F1partial y=picos(pi y), partial F2partial x=picos(pi y);
partial F1partial z=0, partial F3partial x=0;
partial F2partial z=2pi ysin(pi z), partial F3partial y=2pi ysin(pi z)
Como todas as derivadas cruzadas coincidem, o campo é conservativo.

Passo 3

Agora construímos a função potencial f(x,y,z) tal que nabla f=vec F. Integramos F1 em relação a x:
f(x,y,z)=integral sin(pi y),dx = xsin(pi y)+g(y,z)
Depois, impomos partial f/partial y=F2:
partial fpartial y=xpicos(pi y)+partial gpartial y=pi xcos(pi y)-2ycos(pi z)
Logo
partial gpartial y=-2ycos(pi z), g(y,z)=-y^2cos(pi z)+h(z)
Por fim, de partial f/partial z=F3 obtemos h'(z)=0, ou seja, h constante. Assim,
f(x,y,z)=xsin(pi y)-y^2cos(pi z)+C

Passo 4

Para calcular a integral, usamos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: integralgammavec Fcdot dvec r=f(gamma(1))-f(gamma(0)). Temos
gamma(1)=(1,1,1), gamma(0)=(0,0,0)
Então
f(1,1,1)=1cdotsinpi -1^2cospi=0-(-1)=1,
f(0,0,0)=0cdotsin0-0^2cos0=0
Portanto a integral é 1-0=1.

Resposta

1

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