Calcule raízes, decomponha polinômios e trabalhe com raízes da unidade.
14. Decomponha P(z)=z^{6}-64

Passo 1

O enunciado pede para decompor o polinômio P(z)=z^{6}-64. Aqui o conteúdo é fatoração de diferença de potências e uso de raízes complexas da unidade. Vamos usar que 64=2^{6} e as fórmulas de diferença de quadrados e de cubos, além de relacionar com as raízes de z^{6}=2^{6}.

Passo 2

Reescrevemos P(z) como diferença de quadrados, pois 64=(2^{3})^{2}=8^{2}:
P(z)=z^{6}-64=(z^{3})^{2}-(8)^{2}=(z^{3}-8)(z^{3}+8).

Passo 3

Agora aplicamos a fatoração em soma e diferença de cubos a cada fator:
z^{3}-8=(z-2)\bigl(z^{2}+2z+4\bigr),
z^{3}+8=(z+2)\bigl(z^{2}-2z+4\bigr).
Logo,
P(z)=(z-2)(z+2)\bigl(z^{2}+2z+4\bigr)\bigl(z^{2}-2z+4\bigr).

Passo 4

Para visualizar as raízes complexas, resolvemos
z^{6}=64\quad\Longrightarrow\quad z=2\,e^{i\frac{2\pi k}{6}}=2\,e^{i\frac{\pi k}{3}},\quad k=0,1,2,3,4,5.
Isso gera as raízes
2,\;2e^{i\pi/3},\;2e^{i2\pi/3},\;2e^{i\pi},\;2e^{i4\pi/3},\;2e^{i5\pi/3},
que se agrupam em conjugados para formar os quadráticos irreduzíveis sobre \mathbb{R}.

Passo 5

Concluímos que a fatoração completa de P(z) em fatores lineares sobre \mathbb{C} é
P(z)=\prod_{k=0}^{5}\bigl(z-2e^{i\frac{\pi k}{3}}\bigr),
e em fatores sobre \mathbb{R} fica
P(z)=(z-2)(z+2)\bigl(z^{2}+2z+4\bigr)\bigl(z^{2}-2z+4\bigr).

Resposta

P(z)=\;(z-2)(z+2)\,(z^{2}+2z+4)\,(z^{2}-2z+4).

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