Calcule raízes, decomponha polinômios e trabalhe com raízes da unidade.
14. Decomponha
14. Decomponha
Passo 1
O enunciado pede para decompor o polinômio
. Aqui o conteúdo é fatoração de diferença de potências e uso de raízes complexas da unidade. Vamos usar que
e as fórmulas de diferença de quadrados e de cubos, além de relacionar com as raízes de
.
Passo 2
Reescrevemos
como diferença de quadrados, pois
:
Passo 3
Agora aplicamos a fatoração em soma e diferença de cubos a cada fator:
Logo,
Passo 4
Para visualizar as raízes complexas, resolvemos
Isso gera as raízes
que se agrupam em conjugados para formar os quadráticos irreduzíveis sobre
.
Passo 5
Concluímos que a fatoração completa de
em fatores lineares sobre
é
e em fatores sobre
fica