Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
- Prove que o plano complexo é aberto e o vazio é fechado
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas propriedades na topologia usual do plano complexo
: que
é um conjunto aberto e que
é um conjunto fechado. Vamos usar definição de aberto em termos de bolas de raio
e definição de fechado via complemento.
Passo 2
Definição de aberto no espaço métrico
: um conjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que a bola
está contida em
.
Agora, seja
um ponto arbitrário de
. Basta escolher qualquer
(por exemplo
). Então
pois toda bola centrada em
fica claramente dentro de
. Logo, atende à definição de conjunto aberto.
Passo 3
Concluímos que
é aberto, já que todo ponto
possui uma vizinhança inteira contida em
.
Passo 4
Definição de fechado: um conjunto
é fechado se o seu complemento
é aberto. Tome
. Então
e já vimos que
é aberto. Portanto,
é fechado.