Identifique conjuntos, represente graficamente e prove propriedades topológicas.
  1. Prove que o plano complexo é aberto e o vazio é fechado

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas propriedades na topologia usual do plano complexo \mathbb{C}: que \mathbb{C} é um conjunto aberto e que \emptyset é um conjunto fechado. Vamos usar definição de aberto em termos de bolas de raio \varepsilon>0 e definição de fechado via complemento.

Passo 2

Definição de aberto no espaço métrico (\mathbb{C},d): um conjunto U\subseteq\mathbb{C} é aberto se, para todo z_0\in U, existe \varepsilon>0 tal que a bola
B_\varepsilon(z_0)=\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z-z_0|<\varepsilon\}
está contida em U.
Agora, seja z_0 um ponto arbitrário de \mathbb{C}. Basta escolher qualquer \varepsilon>0 (por exemplo \varepsilon=1). Então
B_\varepsilon(z_0)\subseteq\mathbb{C},
pois toda bola centrada em z_0 fica claramente dentro de \mathbb{C}. Logo, atende à definição de conjunto aberto.

Passo 3

Concluímos que \mathbb{C} é aberto, já que todo ponto z_0\in\mathbb{C} possui uma vizinhança inteira contida em \mathbb{C}.

Passo 4

Definição de fechado: um conjunto F\subseteq\mathbb{C} é fechado se o seu complemento F^c é aberto. Tome F=\emptyset. Então
F^c=(\emptyset)^c=\mathbb{C},
e já vimos que \mathbb{C} é aberto. Portanto, \emptyset é fechado.

Resposta

\mathbb{C} é aberto e \emptyset é fechado.

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