Calcule as raízes dos números complexos como dado abaixo:
(-1+i raiz3)^1 / 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular as quatro raízes quárticas de
z = -1 + iraiz3
O conteúdo aqui é a conversão de um número complexo para a forma polar e a aplicação da fórmula de De Moivre para extração de raízes.

Passo 2

Primeiro expressamos z em forma polar z = re^itheta.
O módulo é
r = |z| = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2
O argumento theta satisfaz
costheta = -12, sintheta = raiz32,
o que corresponde a
theta = 2pi3
Logo
z = 2,e^i,2pi/3

Passo 3

Pela fórmula geral das raízes n-ésimas de um número complexo em forma polar, as raízes quárticas ( n=4) são
zk = r^1/4,e^i(theta + 2pi k)/4, k = 0,1,2,3

Passo 4

Aqui r^1/4 = 2^1/4 e
theta + 2pi k4 = 2pi/3 + 2pi k4 = pi6 + kpi2
Portanto
zk = 2^1/4l[cosl(tfracpi6 + tfrackpi2r) + i,sinl(tfracpi6 + tfrackpi2r)r], k=0,1,2,3

Passo 5

Agora basta avaliar para cada k:
z0 &= 2^1/4l(raiz32 + i,12r), z1 &= 2^1/4l(-12 + i,raiz32r), z2 &= 2^1/4l(-raiz32 - i,12r), z3 &= 2^1/4l(12 - i,raiz32r)

Resposta

z0 = 2^1/4l(tfracraiz32 + i,tfrac12r), z1 = 2^1/4l(-tfrac12 + i,tfracraiz32r),
z2 = 2^1/4l(-tfracraiz32 - i,tfrac12r), z3 = 2^1/4l(tfrac12 - i,tfracraiz32r)

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