Demonstre que
1+cos theta+cos 2 theta+cdots+cos n theta=12+sin [(n+1 / 2) theta]2 sin (theta / 2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma
S = 1 + costheta + cos2theta + cdots + cos ntheta
vale
12 + sinl((n+tfrac12)thetar)2,sin(theta/2)
Vamos usar a técnica de escrever cada cosseno como parte real de e^iktheta e empregar a soma de uma progressão geométrica complexa, seguida de uma identidade trigonométrica.

Passo 2

Escrevemos
S = sumk=0^ncos(ktheta) = Regl(sumk=0^ne^ikthetagr)

Passo 3

A soma geométrica complexa é
sumk=0^ne^iktheta = 1 - e^i(n+1)theta1 - e^itheta

Passo 4

Reescrevendo numerador e denominador em termos de senos, temos
1 - e^i(n+1)theta = -2i,e^i(n+1)theta2sinl(tfrac(n+1)theta2r), 1 - e^itheta = -2i,e^itheta2sinl(tfractheta2r)
Logo
sumk=0^ne^iktheta = e^intheta2;sinl(tfrac(n+1)theta2r)sinl(tfractheta2r)

Passo 5

Tomando a parte real,
S = Re!l(e^intheta2r); sinl(tfrac(n+1)theta2r)sinl(tfractheta2r) = sinl(tfrac(n+1)theta2r)sinl(tfractheta2r) cos!l(tfracntheta2r)
Agora usamos a identidade
2sin Acos B = sin(A+B) + sin(A-B)
com A=tfrac(n+1)theta2 e B=tfracntheta2. Isso dá
2,sinl(tfrac(n+1)theta2r)cosl(tfracntheta2r) = sin!l((n+tfrac12)thetar) + sin!l(tfractheta2r)

Passo 6

Finalmente
S = 12,sin(theta2) l[sin!l((n+tfrac12)thetar) + sin!l(tfractheta2r)r] = 12 + sinl((n+tfrac12)thetar)2,sin(tfractheta2),
que é justamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

1+cos theta+cos 2 theta+cdots+cos n theta =12+sinl((n+tfrac12)thetar)2,sin(theta/2)

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