Calcule as raízes dos números complexos dados nos exercícios 9 a 11.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a raiz quadrada do número complexo
. Isso está relacionado ao conteúdo de números complexos e suas raízes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as raízes de um número complexo usando álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a raiz quadrada de
seja um número complexo da forma
, onde
e
são números reais que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos elevar
ao quadrado e igualar ao número complexo original:
Passo 4
Expandindo o lado esquerdo da equação:
Isso porque
.
Passo 5
Agora, igualamos as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, podemos isolar
:
Passo 7
Substituímos
na primeira equação:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação por
para eliminar o denominador:
Passo 9
Vamos resolver essa equação quadrática em
. Seja
, então:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como
não pode ser negativo, descartamos
. Então,
, ou seja,
.
Passo 10
Agora, encontramos
usando
:
- Se
, então . - Se
, então .
Resposta
As raízes quadradas de
são
e
.