Calcule as raízes dos números complexos dados nos exercícios 9 a 11.
raiz-5-12 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver a raiz quadrada do número complexo -5 - 12i. Isso está relacionado ao conteúdo de números complexos e suas raízes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar as raízes de um número complexo usando álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a raiz quadrada de -5 - 12i seja um número complexo da forma a + bi, onde a e b são números reais que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos elevar a + bi ao quadrado e igualar ao número complexo original:
(a + bi)^2 = -5 - 12i

Passo 4

Expandindo o lado esquerdo da equação:
a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2
Isso porque i^2 = -1.

Passo 5

Agora, igualamos as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
  • Parte real: a^2 - b^2 = -5
  • Parte imaginária: 2ab = -12

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. a^2 - b^2 = -5
  2. 2ab = -12
Da segunda equação, podemos isolar b:
b = -122a = -6a

Passo 7

Substituímos b na primeira equação:
a^2 - (-6a)^2 = -5
a^2 - 36a^2 = -5

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por a^2 para eliminar o denominador:
a^4 - 36 = -5a^2
a^4 + 5a^2 - 36 = 0

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática em a^2. Seja x = a^2, então:
x^2 + 5x - 36 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -5 pm raiz25 + 1442 = -5 pm raiz1692 = -5 pm 132
As soluções são:
x = 82 = 4 e x = -182 = -9
Como x = a^2 não pode ser negativo, descartamos x = -9. Então, a^2 = 4, ou seja, a = pm 2.

Passo 10

Agora, encontramos b usando b = -6a:
  • Se a = 2, então b = -62 = -3.
  • Se a = -2, então b = -6-2 = 3.

Resposta

As raízes quadradas de -5 - 12i são 2 - 3i e -2 + 3i.

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