Nos seguintes problemas, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros:
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
pelo método da variação de parâmetros. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, e vamos precisar usar a solução geral da homogênea, o Wronskiano e as fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é , cujas raízes são (dupla). Então a solução geral homogênea é
u2(x) = integral 1(1+x^2)e^2x,dx
Estas integrais em geral não têm forma elementar simples, mas podemos mantê-las como quadraturas.
Passo 8
Por fim escrevemos a solução particular e a geral. Tem-se
yp = u1(x)e^x + u2(x) x e^x,
e a solução geral completa y(x) = (C1 + C2 x)e^x + e^xl(-integral x,e^-2x1+x^2dx + xintegral e^-2x1+x^2dxr)
Resposta
A solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x)e^x + e^xl(-integral x,e^-2x1+x^2,dx + xintegral e^-2x1+x^2,dxr),
onde as integrais podem ser expressas em funções especiais se necessário.