Nos seguintes problemas, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros:
(7) y^prime prime-2 y^prime+y=e^-x /(1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
y'' - 2y' + y = e^-x1+x^2
pelo método da variação de parâmetros. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, e vamos precisar usar a solução geral da homogênea, o Wronskiano e as fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é r^2 - 2r + 1 = 0, cujas raízes são r=1 (dupla). Então a solução geral homogênea é
yc(x) = (C1 + C2 x)e^x,
onde podemos tomar as bases y1=e^x e y2=x e^x.

Passo 3

Agora usamos variação de parâmetros. Definimos
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2
e as condições
u1'y1 + u2'y2 = 0,
u1'y1' + u2'y2' = e^-x1+x^2

Passo 4

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W = y1 & y2y1'&y2' = e^x & x e^xe^x & (x+1)e^x = e^xcdot (x+1)e^x - e^xcdot x e^x = e^2x

Passo 5

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1' = -y2,(e^-x/(1+x^2))W, u2' = y1,(e^-x/(1+x^2))W

Passo 6

Substituindo y1,y2,W e simplificando:
u1'(x) = -x e^x,e^-x(1+x^2)e^2x = -x(1+x^2)e^2x,
u2'(x) = e^x,e^-x(1+x^2)e^2x = 1(1+x^2)e^2x

Passo 7

Integramos para obter u1,u2:
u1(x) = -integral x(1+x^2)e^2x,dx,
u2(x) = integral 1(1+x^2)e^2x,dx
Estas integrais em geral não têm forma elementar simples, mas podemos mantê-las como quadraturas.

Passo 8

Por fim escrevemos a solução particular e a geral. Tem-se
yp = u1(x)e^x + u2(x) x e^x,
e a solução geral completa
y(x) = (C1 + C2 x)e^x + e^xl(-integral x,e^-2x1+x^2dx + xintegral e^-2x1+x^2dxr)

Resposta

A solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x)e^x + e^xl(-integral x,e^-2x1+x^2,dx + xintegral e^-2x1+x^2,dxr),
onde as integrais podem ser expressas em funções especiais se necessário.

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