Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
(7) y^prime prime-2 y^prime+5 y=e^x cos 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é r^2 - 2r + 5 = 0 . Para isso, encontramos a equação característica:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2i
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 3

Com raízes complexas yh(x) = e^x ( C1 cos 2x + C2 sin 2x ) , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(x) = e^x ( A cos 2x + B sin 2x ) para a equação não homogênea . Usamos o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma forma para baseada no lado direito da equação.
Como o lado direito é , nossa suposição para será:
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp'(x) = e^x ( (A cos 2x + B sin 2x) + (-2A sin 2x + 2B cos 2x) ) :
Primeira derivada:
yp''(x) = e^x ( 2(-2A sin 2x + 2B cos 2x) + (-4A cos 2x - 4B sin 2x) )
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo yp'' - 2yp' + 5yp = e^x cos 2x , A = 15, B = 0 e na equação diferencial:
Após simplificar, obtemos um sistema de equações para os coeficientes e . Resolvendo esse sistema, encontramos:

Passo 7

Assim, a solução particular é:
yp(x) = 15 e^x cos 2x

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^x ( C1 cos 2x + C2 sin 2x ) + 15 e^x cos 2x
Podemos combinar os termos semelhantes:
y(x) = e^x ( ( C1 + 15 ) cos 2x + C2 sin 2x )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^x ( C1 cos 2x + C2 sin 2x + 15 cos 2x )
Essa solução é válida para todo o conjunto dos números reais, ou seja, para .

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