Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Passo 3
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Usamos o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma forma para
baseada no lado direito da equação.
Como o lado direito é
, nossa suposição para
será:
onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Após simplificar, obtemos um sistema de equações para os coeficientes
e
. Resolvendo esse sistema, encontramos:
Passo 7
Assim, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Essa solução é válida para todo o conjunto dos números reais, ou seja, para
.