Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função simples, como uma constante ou uma função exponencial. Precisaremos encontrar tanto a solução da equação homogênea associada quanto uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
por
, resultando em:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto,
Passo 4
As raízes reais e distintas são
e
. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 5
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito da equação é uma constante, tentamos uma solução particular também constante, ou seja, assumimos que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Passo 7
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Para determinar o intervalo de validade da solução geral, observamos que não há restrições para os valores de
nas funções exponenciais ou na constante. Portanto, a solução é válida para todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias. Essa solução é válida para todo
.