Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
(1) y^prime prime-36 y^prime+2 y=6

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função simples, como uma constante ou uma função exponencial. Precisaremos encontrar tanto a solução da equação homogênea associada quanto uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo r^2 - 36 r + 2 = 0 por r = 36 pm raiz36^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1 = 36 pm raiz1296 - 82 = 36 pm raiz12882 , resultando em:
raiz1288 = raiz4 cdot 322 = 2raiz322
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = 36 pm 2raiz3222 = 18 pm raiz322
Portanto,

Passo 4

As raízes reais e distintas são yh(x) = C1 e^(18 + raiz322)x + C2 e^(18 - raiz322)x e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito da equação é uma constante, tentamos uma solução particular também constante, ou seja, assumimos que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Derivando yp' = 0 e yp'' = 0 :
0 - 36 cdot 0 + 2A = 6 implies 2A = 6 implies A = 3
Substituindo na equação original:

Passo 7

Portanto, a solução particular é:
yp(x) = 3

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^(18 + raiz322)x + C2 e^(18 - raiz322)x + 3

Passo 9

Para determinar o intervalo de validade da solução geral, observamos que não há restrições para os valores de nas funções exponenciais ou na constante. Portanto, a solução é válida para todo o conjunto dos números reais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y(x) = C1 e^(18 + raiz322)x + C2 e^(18 - raiz322)x + 3 é:
onde e são constantes arbitrárias. Essa solução é válida para todo .

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