Calcule as raízes dos números complexos dados a seguir e faça a representação gráfica correspondente.
Passo 1
Vamos calcular as raízes sextas de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, especialmente sobre a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre para encontrar raízes. Precisamos entender conceitos como módulo, argumento e como representar números complexos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
na forma polar. Um número complexo na forma polar é representado como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculando o módulo de
:
Passo 4
Determinar o argumento de
. No plano complexo,
está no eixo imaginário negativo, então:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar as raízes
-ésimas de um número complexo. Se
, então as raízes são dadas por:
No nosso caso,
,
, e
.
Passo 6
Calculando a raiz sexta de
:
Passo 7
Encontrando os argumentos das raízes:
para
.
Passo 8
Calculando os ângulos para cada valor de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 9
Agora, podemos escrever as raízes sextas de
na forma polar:
Passo 10
Para fazer a representação gráfica, plotamos cada raiz no plano complexo usando seus respectivos ângulos e módulo 1.
Resposta
As raízes sextas de
são:
Gráfico: Cada raiz está localizada no plano complexo em um ângulo de
radianos do eixo real, com módulo 1.