Calcule as raízes dos números complexos dados a seguir e faça a representação gráfica correspondente.
raiz[6]-i

Passo 1

Vamos calcular as raízes sextas de -i. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos, especialmente sobre a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre para encontrar raízes. Precisamos entender conceitos como módulo, argumento e como representar números complexos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar -i na forma polar. Um número complexo na forma polar é representado como re^itheta, onde r é o módulo e theta é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo de -i:
r = raiz0^2 + (-1)^2 = 1

Passo 4

Determinar o argumento de -i. No plano complexo, -i está no eixo imaginário negativo, então:
theta = -pi2 radianos

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar as raízes n-ésimas de um número complexo. Se z = re^itheta, então as raízes são dadas por:
raiz[n]z = raiz[n]r cdot e^i( theta + 2kpin ) para k=0,1,2,dots,n-1
No nosso caso, n=6, r=1, e theta = -pi2.

Passo 6

Calculando a raiz sexta de r:
raiz[6]1 = 1

Passo 7

Encontrando os argumentos das raízes:
thetak = -pi2 + 2kpi6 = -pi + 4kpi12 = (4k -1)pi12
para k=0,1,2,3,4,5.

Passo 8

Calculando os ângulos para cada valor de k:
  • Para k=0:
    theta0 = (0 -1)pi12 = -pi12
  • Para k=1:
    theta1 = (4 -1)pi12 = 3pi12 = pi4
  • Para k=2:
    theta2 = (8 -1)pi12 = 7pi12
  • Para k=3:
    theta3 = (12 -1)pi12 = 11pi12
  • Para k=4:
    theta4 = (16 -1)pi12 = 15pi12 = 5pi4
  • Para k=5:
    theta5 = (20 -1)pi12 = 19pi12

Passo 9

Agora, podemos escrever as raízes sextas de -i na forma polar:
zk = e^ithetak para k=0,1,2,3,4,5

Passo 10

Para fazer a representação gráfica, plotamos cada raiz no plano complexo usando seus respectivos ângulos e módulo 1.

Resposta

As raízes sextas de -i são:
zk = e^i((4k -1)pi12) para k=0,1,2,3,4,5
Gráfico: Cada raiz está localizada no plano complexo em um ângulo de (4k -1)pi12 radianos do eixo real, com módulo 1.

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