Calcule as raízes dos números complexos dados a seguir e faça a representação gráfica correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as raízes quadradas do número complexo
e fazer a representação gráfica dele. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de números complexos, como a forma polar e a fórmula das raízes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um número complexo. Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, no caso,
é a parte real e
é a parte imaginária. Podemos escrever isso como
.
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo das raízes, vamos converter
para a forma polar. Isso envolve encontrar o módulo
e o argumento
do número complexo.
Passo 4
O módulo
é a distância do ponto
até a origem no plano complexo. Calculamos usando a fórmula:
onde
e
. Então:
Passo 5
O argumento
é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real. Usamos a função arco-tangente para calcular:
Isso dá
ou em radianos
rad.
Passo 6
Agora que temos
e
rad, vamos usar a fórmula das raízes quadradas de um número complexo na forma polar. A fórmula é:
Além disso, como números complexos têm duas raízes, vamos considerar também:
Passo 7
Vamos calcular
:
Passo 8
Agora, calculamos
:
Passo 9
Aplicando na fórmula:
E a segunda raiz:
Passo 10
Por fim, a representação gráfica dessas raízes será dois pontos no plano complexo: um no primeiro quadrante
e outro no terceiro quadrante
, refletindo a simetria das raízes em relação à origem.
Resposta
As raízes quadradas de
são aproximadamente
e
, representadas graficamente como pontos nos quadrantes primeiro e terceiro do plano complexo.