Calcule as raízes dos números complexos dados a seguir e faça a representação gráfica correspondente.
raiz1+i raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as raízes quadradas do número complexo 1 + iraiz2 e fazer a representação gráfica dele. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de números complexos, como a forma polar e a fórmula das raízes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um número complexo. Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, no caso, 1 é a parte real e raiz2 é a parte imaginária. Podemos escrever isso como z = 1 + iraiz2.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo das raízes, vamos converter z para a forma polar. Isso envolve encontrar o módulo r e o argumento theta do número complexo.

Passo 4

O módulo r é a distância do ponto z até a origem no plano complexo. Calculamos usando a fórmula:
r = raiza^2 + b^2
onde a = 1 e b = raiz2. Então:
r = raiz1^2 + (raiz2)^2 = raiz1 + 2 = raiz3

Passo 5

O argumento theta é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real. Usamos a função arco-tangente para calcular:
theta = tan^-1(ba) = tan^-1(raiz21) = tan^-1(raiz2)
Isso dá theta approx 54,74^circ ou em radianos theta approx 0,955 rad.

Passo 6

Agora que temos r = raiz3 e theta approx 0,955 rad, vamos usar a fórmula das raízes quadradas de um número complexo na forma polar. A fórmula é:
raizz = raizr [ cos(theta2) + i sin(theta2) ]
Além disso, como números complexos têm duas raízes, vamos considerar também:
raizr [ cos(theta2 + pi) + i sin(theta2 + pi) ]

Passo 7

Vamos calcular raizr:
raizr = raizraiz3 = raiz3^1/2 = 3^1/4 approx 1,316

Passo 8

Agora, calculamos theta2:
theta2 approx 0,9552 approx 0,4775 rad

Passo 9

Aplicando na fórmula:
raizz = 1,316 [ cos(0,4775) + i sin(0,4775) ] approx 1,316 [ 0,89 + i cdot 0,45 ] approx 1,17 + i cdot 0,59
E a segunda raiz:
1,316 [ cos(0,4775 + pi) + i sin(0,4775 + pi) ] approx 1,316 [ -0,89 - i cdot 0,45 ] approx -1,17 - i cdot 0,59

Passo 10

Por fim, a representação gráfica dessas raízes será dois pontos no plano complexo: um no primeiro quadrante (1,17, 0,59) e outro no terceiro quadrante (-1,17, -0,59), refletindo a simetria das raízes em relação à origem.

Resposta

As raízes quadradas de 1 + iraiz2 são aproximadamente 1,17 + 0,59i e -1,17 - 0,59i, representadas graficamente como pontos nos quadrantes primeiro e terceiro do plano complexo.

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