Calcule as raízes dos números complexos dados a seguir e faça a representação gráfica correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente calcular as raízes quarta de um número complexo, especificamente
. Isso envolve conceitos de números complexos, suas formas e como encontrar raízes usando a teoria por trás deles. Vamos precisar entender um pouco sobre a forma polar dos números complexos e a aplicação do Teorema de De Moivre para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o número complexo
na forma polar. Um número complexo na forma
pode ser representado em forma polar como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculando o módulo
de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Como o número está no eixo imaginário negativo,
radianos.
Passo 5
Então, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Para encontrar as raízes quarta, usamos o Teorema de De Moivre, que diz que as raízes
-ésimas de um número complexo
são dadas por:
No nosso caso,
,
,
.
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Agora, vamos calcular as quatro raízes para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, vamos converter essas formas polares para a forma retangular (
) usando as funções cosseno e seno:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As quatro raízes quarta de
são aproximadamente: