Calcule as raízes dos números complexos dados a seguir e faça a representação gráfica correspondente.
raiz[4]-2 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente calcular as raízes quarta de um número complexo, especificamente raiz[4]-2i. Isso envolve conceitos de números complexos, suas formas e como encontrar raízes usando a teoria por trás deles. Vamos precisar entender um pouco sobre a forma polar dos números complexos e a aplicação do Teorema de De Moivre para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o número complexo -2i na forma polar. Um número complexo na forma a + bi pode ser representado em forma polar como r(cos theta + i sin theta), onde r é o módulo e theta é o argumento.

Passo 3

Calculando o módulo r de -2i:
r = raiza^2 + b^2 = raiz0^2 + (-2)^2 = raiz4 = 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta. Como o número está no eixo imaginário negativo, theta = 3pi2 radianos.

Passo 5

Então, podemos escrever -2i na forma polar:
-2i = 2 ( cos( 3pi2 ) + i sin( 3pi2 ) )

Passo 6

Para encontrar as raízes quarta, usamos o Teorema de De Moivre, que diz que as raízes n-ésimas de um número complexo r(cos theta + i sin theta) são dadas por:
raiz[n]r ( cos( theta + 2kpin ) + i sin( theta + 2kpin ) ), k = 0, 1, dots, n-1
No nosso caso, n=4, r=2, theta=3pi2.

Passo 7

Calculando raiz[4]2:
raiz[4]2 = 2^1/4 approx 1,1892

Passo 8

Agora, vamos calcular as quatro raízes para k = 0, 1, 2, 3:
Para k=0:
1,1892 ( cos( 3pi2 + 04 ) + i sin( 3pi2 + 04 ) ) = 1,1892 ( cos( 3pi8 ) + i sin( 3pi8 ) )
Para k=1:
1,1892 ( cos( 3pi2 + 2pi4 ) + i sin( 3pi2 + 2pi4 ) ) = 1,1892 ( cos( 7pi8 ) + i sin( 7pi8 ) )
Para k=2:
1,1892 ( cos( 3pi2 + 4pi4 ) + i sin( 3pi2 + 4pi4 ) ) = 1,1892 ( cos( 11pi8 ) + i sin( 11pi8 ) )
Para k=3:
1,1892 ( cos( 3pi2 + 6pi4 ) + i sin( 3pi2 + 6pi4 ) ) = 1,1892 ( cos( 15pi8 ) + i sin( 15pi8 ) )

Passo 9

Agora, vamos converter essas formas polares para a forma retangular ( a + bi) usando as funções cosseno e seno:
Para k=0:
1,1892 (cos(67,5^circ) + i sin(67,5^circ)) approx 1,1892 (0,3827 + i 0,9239) approx 0,455 + i 1,099
Para k=1:
1,1892 (cos(157,5^circ) + i sin(157,5^circ)) approx 1,1892 (-0,9239 + i 0,3827) approx -1,099 + i 0,455
Para k=2:
1,1892 (cos(247,5^circ) + i sin(247,5^circ)) approx 1,1892 (-0,9239 - i 0,3827) approx -1,099 - i 0,455
Para k=3:
1,1892 (cos(337,5^circ) + i sin(337,5^circ)) approx 1,1892 (0,3827 - i 0,9239) approx 0,455 - i 1,099

Resposta

As quatro raízes quarta de -2i são aproximadamente:
0,455 + i,1,099 -1,099 + i,0,455 -1,099 - i,0,455 0,455 - i,1,099

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