Calcule as raízes quadradas de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as raízes quadradas do número complexo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Queremos todos os
tais que
.
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática): vou usar a forma polar de números complexos e o Teorema de De Moivre para extrair raízes. Breve aula sobre isso:\n
Qualquer número complexo escrito em coordenadas cartesianas como
pode ser escrito em forma polar como
Qualquer número complexo
onde
é o módulo e
é o argumento (ângulo) do número complexo. O Teorema de De Moivre diz que, para inteiro
,
Para encontrar as raízes
-ésimas de
usamos a fórmula
onde
é a raiz positiva do módulo e as diferentes
dão as
raízes distintas (espalhadas no círculo). Aqui
.\n
Observação rápida: poderíamos também resolver por e montar um sistema quadrático, mas o método polar é mais direto e menos sujeito a erro algébrico para este tipo de número.
Observação rápida: poderíamos também resolver por
Passo 3
Calcular o módulo
de
.\n
Escrevendo e
, temos
Escrevendo
Passo 4
Calcular o argumento
de
.\n
A tangente do argumento é
A tangente do argumento é
Isso dá um ângulo cujo tangente é
, que corresponde a
(ou
). Mas atenção ao quadrante: como
e
(ambos negativos), o ponto está no terceiro quadrante. O ângulo no terceiro quadrante correspondente a uma referência de
é
(Obs.: podemos também usar
, que é equivalente modulo
; ambas as escolhas conduzem às mesmas raízes.)
Passo 5
Aplicar a fórmula das raízes quadradas (com
).\n
O módulo das raízes será
O módulo das raízes será
Os argumentos das duas raízes são
Com
obtemos
Portanto as raízes em forma polar são
Passo 6
Converter as raízes para a forma cartesiana (retangular) e simplificar.\n
Usando e
:
Usando
logo
Para o outro ângulo:
então
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): elevar
ao quadrado e conferir que volta
.\n
Seja . Calculamos
Seja
Agora os termos:
logo parte real
. A parte imaginária é
ou seja
. O mesmo acontecerá com
(as duas raízes diferem pelo sinal do argumento e ao quadrado colapsam para
).