Calcule as raízes quadradas de \mathrm{Z}=-8-8 \sqrt{3} \mathrm{i}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as raízes quadradas do número complexo \mathrm{Z}=-8-8\sqrt{3}\,\mathrm{i}.\n
Informações dadas:
\mathrm{Z} = -8 - 8\sqrt{3}\,\mathrm{i}.
Queremos todos os w\in\mathbb{C} tais que w^{2}=\mathrm{Z}.

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática): vou usar a forma polar de números complexos e o Teorema de De Moivre para extrair raízes. Breve aula sobre isso:\n
Qualquer número complexo z escrito em coordenadas cartesianas como z=x+yi pode ser escrito em forma polar como
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)=r\,e^{i\theta},
onde r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é o módulo e \theta é o argumento (ângulo) do número complexo. O Teorema de De Moivre diz que, para inteiro n,
\big(r\,e^{i\theta}\big)^{n}=r^{n}\,e^{i n\theta}.
Para encontrar as raízes n-ésimas de z=r\,e^{i\theta} usamos a fórmula
w_{k}=r^{1/n}\,e^{i(\theta+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1,
onde r^{1/n} é a raiz positiva do módulo e as diferentes k dão as n raízes distintas (espalhadas no círculo). Aqui n=2.\n
Observação rápida: poderíamos também resolver por w=x+iy e montar um sistema quadrático, mas o método polar é mais direto e menos sujeito a erro algébrico para este tipo de número.

Passo 3

Calcular o módulo r de \mathrm{Z}.\n
Escrevendo x=-8 e y=-8\sqrt{3}, temos
r=| \mathrm{Z} | = \sqrt{(-8)^{2}+(-8\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{64+64\cdot 3}=\sqrt{64\cdot 4}=\sqrt{256}=16.

Passo 4

Calcular o argumento \theta de \mathrm{Z}.\n
A tangente do argumento é
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-8\sqrt{3}}{-8}=\sqrt{3}.
Isso dá um ângulo cujo tangente é \sqrt{3}, que corresponde a \pi/3 (ou 60^\circ). Mas atenção ao quadrante: como x<0 e y<0 (ambos negativos), o ponto está no terceiro quadrante. O ângulo no terceiro quadrante correspondente a uma referência de \pi/3 é
\theta=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.
(Obs.: podemos também usar \theta=-\tfrac{2\pi}{3}, que é equivalente modulo 2\pi; ambas as escolhas conduzem às mesmas raízes.)

Passo 5

Aplicar a fórmula das raízes quadradas (com n=2).\n
O módulo das raízes será
\rho = r^{1/2} = \sqrt{16}=4.
Os argumentos das duas raízes são
\phi_{k}=\frac{\theta+2k\pi}{2},\qquad k=0,1.
Com \theta=\tfrac{4\pi}{3} obtemos
\phi_{0}=\frac{4\pi/3}{2}=\frac{2\pi}{3},\qquad \phi_{1}=\frac{4\pi/3+2\pi}{2}=\frac{4\pi/3+6\pi/3}{2}=\frac{10\pi/3}{2}=\frac{5\pi}{3}.
Portanto as raízes em forma polar são
w_{0}=4e^{i2\pi/3},\qquad w_{1}=4e^{i5\pi/3}.

Passo 6

Converter as raízes para a forma cartesiana (retangular) e simplificar.\n
Usando \cos e \sin:
\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},
logo
w_{0}=4\bigg(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)=4\cdot\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)+4\cdot\bigg(i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg)=-2+2\sqrt{3}\,i.
Para o outro ângulo:
\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2},
então
w_{1}=4\bigg(\frac{1}{2}+i\big(-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)\bigg)=4\cdot\frac{1}{2}+4\cdot i\big(-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)=2-2\sqrt{3}\,i.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): elevar w_{0} ao quadrado e conferir que volta \mathrm{Z}.\n
Seja w_{0}=-2+2\sqrt{3}\,i. Calculamos
w_{0}^{2}=(-2)^{2}-(2\sqrt{3})^{2}+2\cdot(-2)\cdot(2\sqrt{3})\,i.
Agora os termos:
(-2)^{2}=4,\qquad (2\sqrt{3})^{2}=4\cdot 3=12,
logo parte real =4-12=-8. A parte imaginária é
2\cdot(-2)\cdot(2\sqrt{3})=-8\sqrt{3},
ou seja w_{0}^{2}=-8-8\sqrt{3}\,i=\mathrm{Z}. O mesmo acontecerá com w_{1} (as duas raízes diferem pelo sinal do argumento e ao quadrado colapsam para \mathrm{Z}).

Resposta

-2+2\sqrt{3}\,i\n
2-2\sqrt{3}\,i

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