(ITA-87) A soma de todas as raízes da equação
é: R: 0
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: qual é a soma de todas as raízes dessa equação?
Informações relevantes: a equação é um polinômio de grau em
com coeficientes numéricos (complexos possivelmente). Não há outras condições adicionais no enunciado.
Informações relevantes: a equação é um polinômio de grau
Passo 2
Vamos lembrar (e provar rapidamente) uma regra útil para somar raízes de um polinômio: se tivermos um polinômio geral de terceiro grau
ao expandir o produto do lado direito obtemos o termo em
igual a
. Comparando coeficientes com o polinômio à esquerda conclui-se que
Essa é a fórmula de Viète para a soma das raízes de um polinômio de grau 3. Aqui
é o coeficiente de
e
o coeficiente de
;
são as três raízes (podem ser complexas).
Passo 3
Apliquemos Viète ao nosso polinômio
. Escrevendo o polinômio na forma padrão:
Aqui
e
. Pela fórmula de Viète,
Portanto a soma das três raízes é
.
Passo 4
Para fixar a ideia, veja uma verificação explícita encontrando as raízes. Fatorize o polinômio:
A raiz óbvia é
. As outras duas raízes vêm da solução de
. Use a fórmula quadrática:
Essas duas têm soma
Somando a raiz
obtém-se
, que coincide com o resultado de Viète.
Passo 5
Interpretação geométrica (intuitiva): as três raízes são as raízes cúbicas da unidade. Geometricamente elas são os vértices de um triângulo equilátero centrado na origem do plano complexo; por simetria, o vetor-soma dessas três posições é nulo. Isso reforça o motivo pelo qual a soma é
.
Resposta
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