(ITA-87) A soma de todas as raízes da equação z^{3}-1=0 é: R: 0

Passo 1

O enunciado dá a equação \,z^{3}-1=0\, e pede: qual é a soma de todas as raízes dessa equação?
Informações relevantes: a equação é um polinômio de grau 3 em z com coeficientes numéricos (complexos possivelmente). Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar (e provar rapidamente) uma regra útil para somar raízes de um polinômio: se tivermos um polinômio geral de terceiro grau
a_3 z^3 + a_2 z^2 + a_1 z + a_0 = a_3 (z-r_1)(z-r_2)(z-r_3),
ao expandir o produto do lado direito obtemos o termo em z^2 igual a -a_3 (r_1+r_2+r_3)z^2. Comparando coeficientes com o polinômio à esquerda conclui-se que
r_1+r_2+r_3 = -\frac{a_2}{a_3}.
Essa é a fórmula de Viète para a soma das raízes de um polinômio de grau 3. Aqui a_3 é o coeficiente de z^3 e a_2 o coeficiente de z^2; r_1,r_2,r_3 são as três raízes (podem ser complexas).

Passo 3

Apliquemos Viète ao nosso polinômio \,z^{3}-1=0\,. Escrevendo o polinômio na forma padrão:
1\cdot z^3 + 0\cdot z^2 + 0\cdot z -1 = 0.
Aqui a_3 = 1 e a_2 = 0. Pela fórmula de Viète,
r_1+r_2+r_3 = -\frac{a_2}{a_3} = -\frac{0}{1} = 0.
Portanto a soma das três raízes é 0.

Passo 4

Para fixar a ideia, veja uma verificação explícita encontrando as raízes. Fatorize o polinômio:
z^3-1=(z-1)(z^2+z+1).
A raiz óbvia é z=1. As outras duas raízes vêm da solução de \,z^2+z+1=0\,. Use a fórmula quadrática:
z = \frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Essas duas têm soma
\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-i\sqrt{3}}{2} = -1.
Somando a raiz 1 obtém-se 1+(-1)=0, que coincide com o resultado de Viète.

Passo 5

Interpretação geométrica (intuitiva): as três raízes são as raízes cúbicas da unidade. Geometricamente elas são os vértices de um triângulo equilátero centrado na origem do plano complexo; por simetria, o vetor-soma dessas três posições é nulo. Isso reforça o motivo pelo qual a soma é 0.

Resposta

0

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